具有的最小方差的无偏估计量


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X1个Xñ 成为分布的随机样本 GËØËŤ[R一世Cθ 对于 0<θ<1个。即

pθX=θ1个-θX-1个一世{1个2}X

查找具有最小方差的无偏估计量 Gθ=1个θ

我的尝试:

由于几何分布来自指数族,因此统计

X一世
完整且足够 θ。另外,如果
ŤX=X1个
是一个估计 Gθ,这是公正的。因此,根据Rao-Blackwell定理和Lehmann-Scheffé定理,
w ^X=Ë[X1个|X一世]
是我们正在寻找的估计量。

我们有以下内容:

w ^X=一世=1个Ť一世PX1个=一世|X一世=Ť=一世=1个Ť一世P一世2X一世=Ť-一世PX1个=一世P一世1个X一世=Ť

由于变量是同等的几何,因此总和分布均为负二项式。但是我有可能简化二项式系数,并在可能的情况下以更好的形式给出最终答案。我将很高兴能得到一些帮助。

谢谢!

编辑:我认为你们不理解我的怀疑:我想我做了所有正确的步骤,也许只是忘记了一些指标功能。这是我所做的:

=一世=1个Ť一世Ť-一世-1个ñ-2θñ-一世1个-θŤ-一世-ñ+1个θ1个-θ一世-1个Ť-1个ñ-1个θñ1个-θŤ-ñ=一世=1个Ť一世Ť-一世-1个ñ-2Ť-1个ñ-1个

就像我说的那样,我在简化和使用索引时遇到了麻烦

Answers:


4

确实对于几何 Gθ 变数 X

Ëθ[X]=1个/θ=Gθ
Rao-Blackwell定理表明
θ^Ť=Ëθ[X1个|一世=1个ñX一世=Ť]
是唯一的最小方差无偏估计量。但是,与其尝试直接计算此条件期望,不如说
Ëθ[X1个|一世=1个ñX一世=Ť]==Ëθ[Xñ|一世=1个ñX一世=Ť]
因此
Ëθ[X1个|一世=1个ñX一世=Ť]=1个ñ一世=1个ñËθ[X一世|一世=1个ñX一世=Ť]=Ťñ
请注意,由于 Ĵ2XĴ 是负二项式 ñËGñ-1个θ
PĴ2XĴ==-1个ñ-2θñ-1个1个-θ-ñ+1个一世>ñ-1个
因此最终金额应为
一世=1个Ť-ñ+1个一世Ť-一世-1个ñ-2/Ť-1个ñ-1个
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