具有的最小方差的无偏估计量

让$X_1, ...,X_n$ 成为分布的随机样本 $Geometric(\theta)$ 对于 $0<\theta<1$。即

$$p_{\theta}(x)=\theta(1-\theta)^{x-1} I_{\{1,2,...\}}(x)$$

查找具有最小方差的无偏估计量 $g(\theta)=\frac{1}{\theta}$

我的尝试：

由于几何分布来自指数族，因此统计

$$\sum X_i$$ 完整且足够 $\theta$。另外，如果 $$T(X)=X_1$$ 是一个估计 $g(\theta)$，这是公正的。因此，根据Rao-Blackwell定理和Lehmann-Scheffé定理， $$W(X) = E[X_1|\sum X_i]$$ 是我们正在寻找的估计量。

我们有以下内容：

$W(X) = \sum_{i=1}^t i\, P(X_1=i|\sum X_i =t) = \sum_{i=1}^t i\, \frac{P(\sum_{i \geq 2} X_i =t-i)P(X_1=i)}{P(\sum_{i \geq 1}X_i =t)}$

由于变量是同等的几何，因此总和分布均为负二项式。但是我有可能简化二项式系数，并在可能的情况下以更好的形式给出最终答案。我将很高兴能得到一些帮助。

谢谢！

编辑：我认为你们不理解我的怀疑：我想我做了所有正确的步骤，也许只是忘记了一些指标功能。这是我所做的：

$$...=\sum_{i=1}^ti\frac{\binom{t-i-1}{n-2}\theta^{n-i}(1-\theta)^{t-i-n+1} \theta(1-\theta)^{i-1}}{\binom{t-1}{n-1}\theta^n(1-\theta)^{t-n}}=\sum_{i=1}^t i \frac{\binom{t-i-1}{n-2}}{\binom{t-1}{n-1}}$$

就像我说的那样，我在简化和使用索引时遇到了麻烦

确实对于几何 ${\cal G}(\theta)$ 变数 $X$，

$$\mathbb{E}_\theta[X]=1/\theta=g(\theta)$$ Rao-Blackwell定理表明 $$\hat{\theta}(T)=\mathbb{E}_\theta\left[X_1\Bigg|\sum_{i=1}^n X_i=T\right]$$ 是唯一的最小方差无偏估计量。但是，与其尝试直接计算此条件期望，不如说 $$\mathbb{E}_\theta\left[X_1\Bigg|\sum_{i=1}^n X_i=T\right]=\ldots=\mathbb{E}_\theta\left[X_n\Bigg|\sum_{i=1}^n X_i=T\right]$$ 因此 $$\mathbb{E}_\theta\left[X_1\Bigg|\sum_{i=1}^n X_i=T\right]=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \mathbb{E}_\theta\left[X_i\Bigg|\sum_{i=1}^n X_i=T\right]=\frac{T}{n}$$ 请注意，由于 $\sum_{j\ge 2} X_j$ 是负二项式 $\cal{N}eg(n-1,\theta)$ $$\mathbb{P}\left(\sum_{j\ge 2} X_j=m\right)={m-1\choose n-2}\theta^{n-1}(1-\theta)^{m-n+1}\mathbb{I}_{m>n-1}$$ 因此最终金额应为 $$\sum_{i=1}^{t-n+1} i {\binom{t-i-1}{n-2}}\bigg/{\binom{t-1}{n-1}}$$