背景： 注意：我的数据集和R代码包含在文本下方

我希望使用AIC比较使用R中的lme4包生成的两个混合效果模型。每个模型都有一个固定效果和一个随机效果。模型之间的固定效果不同，但模型之间的随机效果保持不变。我发现如果我使用REML = T，则model2的AIC分数较低，但是如果我使用REML = F，则model1的AIC分数较低。

支持使用ML：

Zuur等。（2009年；第122页）建议“要比较具有嵌套固定效应（但具有相同随机结构）的模型，必须使用ML估计而不是REML。” 这向我表明我应该使用ML，因为两个模型的随机效果都相同，但是固定效果却不同。[Zuur等。2009。R.Springer的《混合效应模型和生态学扩展》。

支持使用REML：

但是，我注意到当我使用ML时，两个模型之间与随机效应相关的剩余方差有所不同（模型1 = 136.3；模型2 = 112.9），但是当我使用REML时，模型之间是相同的（模型1 =模型2 = 151.5）。这对我来说意味着我应该改为使用REML，以便具有相同随机变量的模型之间的随机残差保持相同。

题：

在固定效应改变而随机效应保持不变的模型比较中，使用REML比ML更有意义吗？如果不是，您能解释为什么还是将我指向其他能解释更多内容的文献吗？

# Model2 "wins" if REML=T:
REMLmodel1 = lmer(Response ~ Fixed1 + (1|Random1),data,REML = T)
REMLmodel2 = lmer(Response ~ Fixed2 + (1|Random1),data,REML = T)
AIC(REMLmodel1,REMLmodel2)
summary(REMLmodel1)
summary(REMLmodel2)

# Model1 "wins" if REML=F:
MLmodel1 = lmer(Response ~ Fixed1 + (1|Random1),data,REML = F)
MLmodel2 = lmer(Response ~ Fixed2 + (1|Random1),data,REML = F)
AIC(MLmodel1,MLmodel2)
summary(MLmodel1)
summary(MLmodel2)

资料集：

Response    Fixed1  Fixed2  Random1
5.20    A   A   1
32.50   A   A   1
6.57    A   A   2
24.77   A   B   3
41.69   A   B   3
34.29   A   B   4
1.80    A   B   4
10.00   A   B   5
15.56   A   B   5
4.44    A   C   6
21.65   A   C   6
9.20    A   C   7
4.11    A   C   7
12.52   B   D   8
0.25    B   D   8
27.34   B   D   9
11.54   B   E   10
0.86    B   E   10
0.68    B   E   11
4.00    B   E   11

Zuur等人和Faraway（来自@janhove的上述评论）是正确的；使用基于似然的方法（包括AIC）来比较REML拟合的具有不同固定效果的两个模型通常会导致胡说八道。

$X$$\tilde{X}$$\mathbb{R}^n$$\tilde{X}$$X$$B$

$\tilde{X} = XB$

$B$$X$$B$

$V$

$|V|^{-1/2}|\tilde{X}'V^{-1}\tilde{X}|^{-1/2}\exp((y-\tilde{X}\tilde{\beta})'V^{-1}(y-\tilde{X}\tilde{\beta})/2)$

$\beta = (\tilde{X}V^{-1}\tilde{X})^{-1}y$$X = \tilde{X}B$

$|B||V|^{-1/2}||X'V^{-1}X|^{-1/2}|\exp((y-X\bar{\beta})'V^{-1}(y-X\bar{\beta})/2)$

$\bar{\beta} = (XV^{-1}X)^{-1}y$$|B|$

$|B| \neq 1$

这是为什么在比较具有不同固定效果的模型时不应使用REML的一个示例。然而，REML通常会更好地估计随机效应参数，因此有时建议使用ML进行比较，而REML则用于估计单个（可能是最终的）模型。