通过依次选择一个球并对其进行标记来估计球数

可以说我的书包里有N个球。在我的第一个平局中，我标记了球并将其放在袋子中。在第二次抽签中，如果我捡到一个标记的球，我会将其放回书包。但是，如果我捡起一个未标记的球，则对其进行标记，然后将其放回袋子。我将继续进行任何抽奖。给定多次抽签和带标记/不带记号的抽签历史，预期袋子中的球数是多少？

— 阿什蒙
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— a.arfe

无法从通常的技术意义上理解“期望数”的期望值，因为对于

N

$N$ 。这听起来像你所要求的一个估计的

N

$N$ 。

— ub

这是一个主意。让 $\mathcal{I}$ 是自然数的有限子集，将用作 $N$ 。假设我们有一个先验分布 $\mathcal{I}$ 。修复非随机正整数 $M$ 。让 $k$ 表示我们在其中标记球的次数的随机变量 $M$ 从袋子里抽出来。目标是找到 $E(N|k)$ 。这将是 $M,k$ 和之前。

根据贝叶斯规则，我们有

\begin{aligned} P (N = j | k) & = \frac{P (k | N = j) P (N = j)}{P (k)} \\ = \frac{P (k | N = j) P (N = j)}{\sum_{r \in I} P (k | N = r) P (N = r)} \end{aligned}

$\begin{align} P(N=j|k) &= \frac{P(k|N=j)P(N=j)}{P(k)}\\ &= \frac{P(k|N=j)P(N=j)}{\sum_{r \in \mathcal{I}} P(k|N=r)P(N=r)} \end{align}$

电脑运算 $P(k|N=j)$ 是已知的计算，它是优惠券收集者问题的一种变体。 $P(k|N=j)$ 是我们观察到的概率 $k$ 中的不同优惠券 $M$ 有的时候画 $j$ 总共有优惠券。请参阅此处的参数

P (k | N = j) = \frac{(\binom{j}{k}) k! S (M, k)}{j^{M}}

$P(k|N=j) = \frac{\binom{j}{k}k!S(M,k)}{j^M}$

其中表示第二类斯特林数。然后我们可以计算 $S$

E (N | k) = \sum_{j \in I} j P (N = j | k)

$E(N|k) = \sum_{j \in \mathcal{I}}jP(N=j|k)$

以下是各种和一些计算。在每种情况下，我们在上使用统一的先验 $k$ $M$ $[k,10k]$

\begin{array}{ccc} 中号 & ķ & Ë （ ñ ） \\ 10 & 5 & 7.99 \\ 15 & 5 & 5.60 \\ 15 & 10 & 23.69 \\ 30 & 15 & 20.00 \\ 30 & 20 & 39.53 \end{array}

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline M & k & E(N)\\\hline 10 & 5 & 7.99 \\ 15 & 5 & 5.60 \\ 15 & 10 & 23.69\\ 30 & 15 & 20.00\\ 30 & 20 & 39.53 \\ \hline \end{array}$

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