为什么样本标准差是有偏估计量？

根据维基百科有关标准偏差的无偏估计的文章，样本SD

s = \sqrt{\frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}}

$s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2}$

是总体SD的有偏估计。它指出。 $E(\sqrt{s^2}) \neq \sqrt{E(s^2)}$

注意随机变量是独立的，每个 $x_{i} \sim N(\mu,\sigma^{2})$

我的问题有两个：

有偏见的证据是什么？
如何计算样本标准偏差的期望值

我的数学/统计知识只是中级。

estimation standard-deviation

— Dav Weps
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您会发现有关Chi分布的Wikipedia文章都回答了这两个问题。

— ub

@NRH对这个问题的答案很好地证明了样品标准偏差的偏差。在这里，我将明确地从正态分布的样本中计算出样本标准差的期望值（原始张贴者的第二个问题），此时偏差是显而易见的。

一组点的无偏样本方差为 $x_1, ..., x_n$

s^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}

$s^{2} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2$

如果是正态分布的，则事实是 $x_i$

\frac{(n - 1) s^{2}}{σ^{2}} \sim χ_{n - 1}^{2}

$\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \sim \chi^{2}_{n-1}$

其中是真实方差。所述分布具有的概率密度 $\sigma^2$ $\chi^2_{k}$

p (x) = \frac{(1 / 2)^{k / 2}}{Γ (k / 2)} x^{k / 2 - 1} e^{- x / 2}

$p(x) = \frac{(1/2)^{k/2}}{\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1}e^{-x/2}$

使用此可以得出的期望值; $s$

\begin{aligned} E (s) & = \sqrt{\frac{σ^{2}}{n - 1}} E (\sqrt{\frac{s^{2} (n - 1)}{σ^{2}}}) \\ = \sqrt{\frac{σ^{2}}{n - 1}} \int_{0}^{\infty} \sqrt{x} \frac{(1 / 2)^{(n - 1) / 2}}{Γ ((n - 1) / 2)} x^{((n - 1) / 2) - 1} e^{- x / 2} d x \end{aligned}

$\begin{align} E(s) &= \sqrt{\frac{\sigma^2}{n-1}} E \left( \sqrt{\frac{s^2(n-1)}{\sigma^2}} \right) \\ &= \sqrt{\frac{\sigma^2}{n-1}} \int_{0}^{\infty} \sqrt{x} \frac{(1/2)^{(n-1)/2}}{\Gamma((n-1)/2)} x^{((n-1)/2) - 1}e^{-x/2} \ dx \end{align}$

从期望值的定义和是分布变量的平方根的事实出发。现在的技巧是重新排列项，以使被积数成为另一个密度： $\sqrt{\frac{s^2(n-1)}{\sigma^2}}$ $\chi^2$ $\chi^2$

\begin{aligned} E (s) & = \sqrt{\frac{σ^{2}}{n - 1}} \int_{0}^{\infty} \frac{(1 / 2)^{(n - 1) / 2}}{Γ (\frac{n - 1}{2})} x^{(n / 2) - 1} e^{- x / 2} d x \\ = \sqrt{\frac{σ^{2}}{n - 1}} \cdot \frac{Γ (n / 2)}{Γ (\frac{n - 1}{2})} \int_{0}^{\infty} \frac{(1 / 2)^{(n - 1) / 2}}{Γ (n / 2)} x^{(n / 2) - 1} e^{- x / 2} d x \\ = \sqrt{\frac{σ^{2}}{n - 1}} \cdot \frac{Γ (n / 2)}{Γ (\frac{n - 1}{2})} \cdot \frac{(1 / 2)^{(n - 1) / 2}}{(1 / 2)^{n / 2}} \underset{χ_{n}^{2} d e n s i t y}{\underset{⏟}{\int_{0}^{\infty} \frac{(1 / 2)^{n / 2}}{Γ (n / 2)} x^{(n / 2) - 1} e^{- x / 2} d x}} \end{aligned}

$\begin{align} E(s) &= \sqrt{\frac{\sigma^2}{n-1}} \int_{0}^{\infty} \frac{(1/2)^{(n-1)/2}}{\Gamma(\frac{n-1}{2})} x^{(n/2) - 1}e^{-x/2} \ dx \\ &= \sqrt{\frac{\sigma^2}{n-1}} \cdot \frac{ \Gamma(n/2) }{ \Gamma( \frac{n-1}{2} ) } \int_{0}^{\infty} \frac{(1/2)^{(n-1)/2}}{\Gamma(n/2)} x^{(n/2) - 1}e^{-x/2} \ dx \\ &= \sqrt{\frac{\sigma^2}{n-1}} \cdot \frac{ \Gamma(n/2) }{ \Gamma( \frac{n-1}{2} ) } \cdot \frac{ (1/2)^{(n-1)/2} }{ (1/2)^{n/2} } \underbrace{ \int_{0}^{\infty} \frac{(1/2)^{n/2}}{\Gamma(n/2)} x^{(n/2) - 1}e^{-x/2} \ dx}_{\chi^2_n \ {\rm density} } \end{align}$

现在我们知道被积数的最后一行等于1，因为它是密度。简化常量可以得到 $\chi^2_{n}$

E (s) = σ \cdot \sqrt{\frac{2}{n - 1}} \cdot \frac{Γ (n / 2)}{Γ (\frac{n - 1}{2})}

$E(s) = \sigma \cdot \sqrt{ \frac{2}{n-1} } \cdot \frac{ \Gamma(n/2) }{ \Gamma( \frac{n-1}{2} ) }$

因此的偏差为 $s$

σ - E (s) = σ (1 - \sqrt{\frac{2}{n - 1}} \cdot \frac{Γ (n / 2)}{Γ (\frac{n - 1}{2})}) \sim \frac{σ}{4 n}

$\sigma - E(s) = \sigma \bigg(1 - \sqrt{ \frac{2}{n-1} } \cdot \frac{ \Gamma(n/2) }{ \Gamma( \frac{n-1}{2} ) } \bigg) \sim \frac{\sigma}{4 n} \>$ 作为。

n \to \infty

$n \to \infty$

不难看出，对于任何有限的，该偏差都不为0 ，因此证明了样本标准偏差是有偏差的。下面的偏压是情节作为的函数为在红色与沿在蓝色： $n$ $n$ $\sigma=1$ $1/4n$

在此处输入图片说明

— 巨集
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（+1）个好答案。我希望你不要介意，我调整了一些非常小的事情，并增加了关于偏差的渐近结果。我想您可以将曲线叠加到绘图上，但这可能是不必要的。干杯。:)

(4 n)^{- 1}

$(4n)^{-1}$

— 主教

您确实花了很多力气来制作此Macro。大约在一分钟前，当我第一次看到该帖子时，我正在考虑使用詹森法则来显示偏见，但有人已经做到了。

— 迈克尔·切尔尼克

当然，这是一种证明标准偏差有偏差的方法-我主要是回答原始张贴者的第二个问题：“如何计算标准偏差的期望值？”。

— 2012年

也许值得一提的另一点是，该计算使人们可以立即读出在高斯情况下标准偏差的UMVU估计量：一个简单地将乘以证明中出现的比例因子的倒数。这相当容易地推广到 UMVU估计量。

s

$s$

σ^{k}

$\sigma^k$

— 主教

抱歉，宏。您所使用的相同基本积分方法将起作用，您将得到不同的缩放因子，并且将gamma参数用作函数。这就是我的意思，但是结果太简洁了。:)

s^{k}

$s^k$

k

$k$

— 红衣主教2012年

您不需要常态。您需要做的就是是方差的无偏估计量。然后使用平方根函数严格是凹的，使得（通过詹森不等式的强形式）除非的分布在处退化。

s^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}

$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n(x_i - \bar{x})^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

E (\sqrt{s^{2}}) < \sqrt{E (s^{2})} = σ

$E(\sqrt{s^2}) < \sqrt{E(s^2)} = \sigma$

s^{2}

$s^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

— NRH
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与NRH的答案相辅相成，如果有人正在向尚未研究Jensen不等式的一组学生教授这种方法，则一种方法是定义样本标准差假设是非简并的（因此），并注意等价

S_{n} = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} \frac{(X_{i} - {\bar{X}}_{n})^{2}}{n - 1}},

$S_n = \sqrt{\sum_{i=1}^n\frac{(X_i-\bar{X}_n)^2}{n-1}} ,$

S_{n}

$S_n$

V a r [S_{n}] \neq 0

$\mathrm{Var}[S_n]\ne0$

0 < V a r [S_{n}] = E [S_{n}^{2}] - E^{2} [S_{n}] \Leftrightarrow E^{2} [S_{n}] < E [S_{n}^{2}] \Leftrightarrow E [S_{n}] < \sqrt{E [S_{n}^{2}]} = σ .

$0 < \mathrm{Var}[S_n] = \mathrm{E}[S_n^2] - \mathrm{E}^2[S_n] \;\;\Leftrightarrow\;\; \mathrm{E}^2[S_n] < \mathrm{E}[S_n^2] \;\;\Leftrightarrow\;\; \mathrm{E}[S_n] < \sqrt{\mathrm{E}[S_n^2]} =\sigma.$

— 禅
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