如果时间序列是二阶平稳的，这是否意味着它严格是平稳的？

如果的联合分布，则过程 $X_t$ 严格地是平稳的与的联合分布相同对于所有，对于所有以及对于所有 $X_{t_1},X_{t_2},...,X_{t_m}$ $X_{t_1+k},X_{t_2+k},...,X_{t_m+k}$ $m$ $k$ 。 $t_1,t_2,...,t_m$

如果过程的均值是常数且其自协方差函数仅取决于滞后，则该过程为二阶平稳过程。

因此二阶平稳意味着严格平稳吗？

同样在二阶平稳条件下，它说没有假设比一阶和二阶更高的力矩。第一个矩对应于均值，第二个矩对应于自协方差吗？

— 克拉克森
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另请参阅此帖子以进行相关讨论。

— javlacalle 2014年

所谓的（或您的课程调用）二阶平稳通常称为弱平稳或广义平稳（WSS）或广义上的平稳。WSS过程不一定严格固定，因为平均值和自协方差通常不足以确定分布。当然，WSS 高斯或正态过程（意味着所有

都是正态随机变量）是严格平稳的，因为均值和协方差矩阵决定了联合分布。

X_{t}

$X_t$

— Dilip Sarwate 2014年

另请参见二阶平稳但非严格平稳的过程示例。两者非常接近重复。这个问题还询问第二矩是否涉及自协方差，但这实际上是一个子问题，并且无论如何都要在线程上进行处理。什么是二阶平稳过程？

— 银鱼

mathoverflow.net/questions/42141/…–

— 罗比·

二阶平稳性比严格平稳性弱。二阶平稳性要求一阶矩和二阶矩（均值，方差和协方差）在整个时间内都是恒定的，因此，它不依赖于观察该过程的时间。特别地，正如您所说，协方差仅取决于滞后阶，而不取决于其测量时间为所有 $k$ $Cov(x_t, x_{t-k}) = Cov(x_{t+h}, x_{t+h-k})$ 。 $t$

在严格的平稳过程中，所有阶的矩在整个时间内保持不变，即，如您所说，的联合分布与的联合分布相同对于所有均 $X_{t1},X_{t2},...,X_{tm}$ $X_{t1+k}+X_{t2+k}+...+X_{tm+k}$ 和。 $t1,t2,...,tm$ $k$

因此，严格平稳性涉及二阶平稳性，但反之则不成立。

编辑（编辑为@whuber评论的答案）

前面的陈述是对平稳性和弱稳定性的一般理解。尽管在较弱的意义上的平稳性并不意味着在较强的意义上的平稳性的想法可能与直觉相吻合，但如下面的胡布尔在下面的评论中所指出的那样，它可能不是那么简单的证明。说明该评论中建议的想法可能会有所帮助。

我们如何定义一个过程是二阶平稳的（在整个时间内均值，方差和协方差恒定），但是在严格意义上却不是平稳的（一个高阶的矩取决于时间）？

如@whuber所建议（如果我理解正确的话），我们可以将来自不同分布的多批观察结果连接起来。我们只需要注意那些分布具有相同的均值和方差即可（在这一点上，让我们考虑它们是彼此独立采样的）。一方面，我们可以例如根据学生的以个自由度生成观察结果。均值为零，方差为。在另一方面，我们可以采取高斯分布，零均值和方差。 $t$ $5$ $5/(5-2)=5/3$ $5/3$

两种分布共享相同的平均（零）和方差（）。因此，来自这些分布的随机值的串联将至少是二阶平稳的。然而，在由高斯分布支配的那些点的峰度将是，而在其中所述数据来自学生的那些时间点 -配送这将是。因此，以这种方式生成的数据在严格意义上不是固定的，因为四阶矩不是恒定的。 $5/3$ $3$ $t$ $3+6/(5-4)=9$

因为我们考虑了独立的观察，所以协方差也是恒定的并且等于零。这看似微不足道，所以我们可以根据以下自回归模型在观测值之间建立某种依赖性。

与

ÿ_{Ť} = ϕ ÿ_{Ť - 1个} + ϵ_{Ť} ， | ϕ | < 1个 ， Ť = 1个 ， 2 ， 。 。 。 ， 120

$y_t = \phi y_{t-1} + \epsilon_t \,, \quad |\phi| < 1 \,, \quad t = 1,2,...,120$

\begin{array}{rcl} ϵ_{Ť} 〜 {\begin{cases} ñ （ 0 ， σ^{2} = 5 / 3 ） & 如果 Ť \in [0 ， 20] ， [41 ， 60] ， [81 ， 100] \\ Ť_{5} & 如果 Ť \in [21 ， 40] ， [61 ， 80] ， [101 ， 120] 。 \end{cases} \end{array}

$\begin{eqnarray} \epsilon_t \sim \left\{ \begin{array}{ll} N(0, \sigma^2=5/3) \quad & \hbox{if} \; t \in [0,20], [41,60], [81,100] \\ t_5 \quad & \hbox{if} \; t \in [21,40], [61,80], [101,120] \,. \end{array} \right. \end{eqnarray}$

确保满足二阶平稳性。 $|\phi| < 1$

我们可以在R软件中模拟其中一些序列，并检查在观测值的批次中，样本均值，方差，一阶协方差和峰度是否保持恒定（下面的代码使用和样本大小，该图显示模拟系列之一）： $20$ $\phi=0.8$ $n=240$

# this function is required below
kurtosis <- function(x)
{
  n <- length(x)
  m1 <- sum(x)/n
  m2 <- sum((x - m1)^2)/n
  m3 <- sum((x - m1)^3)/n
  m4 <- sum((x - m1)^4)/n
  b1 <- (m3/m2^(3/2))^2
  (m4/m2^2)
}
# begin simulation
set.seed(123)
n <- 240
Mmeans <- Mvars <- Mcovs <- Mkurts <- matrix(nrow = 1000, ncol = n/20)
for (i in seq(nrow(Mmeans)))
{
  eps1 <- rnorm(n = n/2, sd = sqrt(5/3))
  eps2 <- rt(n = n/2, df = 5)
  eps <- c(eps1[1:20], eps2[1:20], eps1[21:40], eps2[21:40], eps1[41:60], eps2[41:60], 
    eps1[61:80], eps2[61:80], eps1[81:100], eps2[81:100], eps1[101:120], eps2[101:120])
  y <- arima.sim(n = n, model = list(order = c(1,0,0), ar = 0.8), innov = eps)

  ly <- split(y, gl(n/20, 20))
  Mmeans[i,] <- unlist(lapply(ly, mean))
  Mvars[i,] <- unlist(lapply(ly, var))
  Mcovs[i,] <- unlist(lapply(ly, function(x) 
    acf(x, lag.max = 1, type = "cov", plot = FALSE)$acf[2,,1]))
  Mkurts[i,] <- unlist(lapply(ly, kurtosis))
}

结果不是我所期望的：

round(colMeans(Mmeans), 4)
#  [1]  0.0549 -0.0102 -0.0077 -0.0624 -0.0355 -0.0120  0.0191  0.0094 -0.0384
# [10]  0.0390 -0.0056 -0.0236
round(colMeans(Mvars), 4)
#  [1] 3.0430 3.0769 3.1963 3.1102 3.1551 3.2853 3.1344 3.2351 3.2053 3.1714
# [11] 3.1115 3.2148
round(colMeans(Mcovs), 4)
#  [1] 1.8417 1.8675 1.9571 1.8940 1.9175 2.0123 1.8905 1.9863 1.9653 1.9313
# [11] 1.8820 1.9491
round(colMeans(Mkurts), 4)
#  [1] 2.4603 2.5800 2.4576 2.5927 2.5048 2.6269 2.5251 2.5340 2.4762 2.5731
# [11] 2.5001 2.6279

$t$ $20$

— 贾瓦克拉勒
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尽管您是正确的，但是您没有充分证明最终结论。（您似乎假设可以将二阶平稳过程的较高矩独立于其前两个矩来规定，但是，尽管部分正确，但这并不明显。）证明结论的最有力方法是：表现出一个二阶固定但非固定的过程。尽管使用独立的随机变量的适当序列很容易做到这一点，但提供一个在所有滞后均无消失相关性的示例将是令人感兴趣的。

— ub

@whuber我编辑了答案。我以为我理解您的观点，但是我对您的想法的尝试并不完全令人满意。

— javlacalle 2014年

U_{i}, i = 0, 1

$U_i,i=0,1$

p \neq 1 / 2

$p\ne 1/2$

1 - p

$1-p$

(X_{i})

$(X_i)$

i \in Z

$i\in\mathbb{Z}$

Y_{i} = U_{[i]} - p_{[i]} + X_{i}

$Y_i=U_{[i]}-p_{[i]}+X_i$

[i] = 0

$[i]=0$

i

$i$

[i] = 1

$[i]=1$ Rn <- 300; p <- 1/4; x <- rnorm(n, (rbinom(2,1,c(p,1-p))-c(p,1-p)), 1/8)

我不会命令严格的平稳性和协方差平稳性（尽管不幸的是，后者也使用“弱”一词来表示这种排序）。原因是严格平稳性并不意味着协方差平稳性：过程可能严格平稳，但分布矩可能不存在或无限大，在这种情况下，此严格平稳过程并非协方差平稳性。

— Alecos Papadopoulos

我们不能直接模拟不存在的时刻。举一个简单的例子，创建一个柯西严格平稳的过程。该图将看起来非常“平稳”，因为过程的行为是重复的，这种行为仅取决于时刻的存在。如果它们不存在，则将描述行为并取决于分布的其他特征。

— Alecos Papadopoulos

由于我无法发表评论，并且我对@javlacalle的答案有一个重要的警告，因此我被迫将这是一个单独的答案：

@javlacalle写道

严格平稳涉及二阶平稳，但事实并非如此。

但是，强烈的平稳性并不意味着平稳的平稳性。原因是强烈的平稳性并不意味着过程必然具有有限的第二时刻。例如，具有标准柯西分布的iid过程严格是平稳的，但没有有限的第二矩。的确，对于强静止过程的弱平稳性，具有有限的第二力矩是必要的和充分的条件。

参考：Myers，DE，1989年。成为或不成为。。。固定的？就是那个问题。数学。地质 21，347–362。

— ShayPal5
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