如何为有界目标变量建模？

我有5个变量，我试图预测目标变量，该变量必须在0到70的范围内。

如何使用这些信息更好地为目标建模？

regression bounds

— 用户333
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Answers:

您不必做任何事情。预测变量可能会正常工作。即使预测变量外推到范围之外的值，也可能将预测限制在范围内（即使用而不是）好。对模型进行交叉验证，看是否可行。 $\max(0, \min(70, \hat{y}))$ $\hat{y}$

但是，限制范围增加了因变量（ $y$ ）和自变量（ $x_i$ ）之间存在非线性关系的可能性。其他一些指标包括：

与 $\hat{y}$ 在其范围的中间时相比，残差值的更大变化要比该范围任一端的残差变化大。
特定非线性关系的理论原因。
模型错误指定的证据（以通常的方式获得）。
中二次项或高阶项的意义 $x_i$ 。

考虑这些条件中的任何一个成立的情况下，的非线性重新表达 $y$ 。

有很多方法可以重新表达 $y$ 以与建立更多线性关系 $x_i$ 。例如，间隔上定义的任何递增函数都可以通过进行“折叠”以创建对称的递增函数。如果随其参数接近而变得任意大且为负，则的折叠形式会将映射到所有实数中。此类函数的示例包括对数和任何负幂。使用对数等效于@ user603建议的“ logit链接”。另一种方法是让 $f$ $[0,70]$ $y \to f(y) - f(70-y)$ $f$ $0$ $f$ $[0,70]$ $G$ 是任何概率分布的逆CDF并定义 $f(y) = G(y/70)$ 。使用正态分布给出了“概率”变换。

利用变换族的一种方法是进行实验：尝试进行可能的变换，针对对变换后的进行快速回归，然后测试残差：它们应与的预测值无关（同构且不相关）。这些是与自变量线性关系的迹象。如果逆变换后的预测值的残差趋于较小，这也有帮助。这表明变换已改善了拟合度。为了抵制离群值的影响，请使用健壮的回归方法，例如迭代地加权最小二乘法。 $y$ $x_i$ $y$

— ub
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+1好答案！您是否可以外推或引用为什么“当y_hat处于其范围的中间时，与范围两端的残差变化相比，残值的较大变化”表示非线性？

— 安迪·麦肯齐

@Andy从理论上讲，这种异方差与非线性没有直接关系，但是在实践中，经常观察到方差稳定化的转换趋于使关系线性化。从最小值（如0）到最大值（如70）连续上升的任何曲线都会在该范围的中间某处具有最大斜率，这通常也导致较大的残留方差。这就是为什么我们希望看到残差在中间显示更多方差，而在末端显示更少方差。如果是没有的情况下，希望对大家能有线性关系，未转换的变量。

— ub

重要的是要考虑为什么您的值限制在0-70范围内。例如，如果它们是70个问题测验中正确答案的数量，则应考虑“成功数量”变量的模型，例如过度分散的二项式回归。其他原因可能会导致您使用其他解决方案。

— 安妮子
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数据转换：重新缩放数据以使其位于，并使用具有logit链接的glm模型对其进行建模。 $[0,1]$

编辑：重新缩放向量时（即，将所有元素除以最大的项），通常，在执行此操作之前，请筛选（眼球）异常值。

更新

假设您有权使用R，我将使用健壮的 glm例程携带建模部分，请参见包中的。 $\verb+glmrob()+$ $\verb+robustbase+$

— 用户603
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按此处推荐的方式钳位数据将使斜率出现偏差。

— ub

同样，当先验地知道数据的真实范围时，我看不到基于样本分位数进行钳位的立即值。

— 主教

@Cardinal关键是（例如）可能有99％的数据位于[0,1]中，而其余值等于70：对范围的紧凑约束不能确保没有异常值！因此，尽管我担心提议的方法可能存在偏差，但我同意@ user603提供的建议的精神。

— ub

@whuber：在这种情况下，我倾向于使用能够抵抗异常值的GLM，而不是这种形式的夹紧。然后让模型拟合通过“截距”和“斜率”系数进行调整。

— 主教

@Cardinal是的，这是一个有效的解决方案。我希望使用这样的GLM仍然可以通过诊断程序来检查（近似）线性和残差的独立性。

— ub