如何将贝叶斯定理应用于寻找海上迷路的渔夫

文章“不断更新的可能性”提到了一个长岛渔民的故事，他的生活完全归功于贝叶斯统计局。这是简短的版本：

午夜时分，船上有两名渔民。当一个人睡着时，另一个掉入大海。整个晚上，船将继续自动驾驶，直到第一个家伙最终醒来并通知海岸警卫队。海岸警卫队使用一款名为SAROPS（搜索和救援最佳计划系统）的软件来及时找到他，因为他的体温过低并且几乎没有精力维持生存。

这是长版：海中的斑点

我想了解更多有关贝叶斯定理在此处实际应用的信息。我通过谷歌搜索发现了很多有关SAROPS软件的信息。

SAROPS模拟器

模拟器组件考虑了及时的数据，例如洋流，风等，并模拟了数千种可能的漂移路径。根据这些漂移路径，创建概率分布图。

请注意，以下图形并不涉及我上面提到的失踪渔夫的情况，而是本演示文稿中的一个玩具示例。

概率图1（红色表示最高概率；蓝色表示最低概率）

请注意是起始位置的圆圈。

概率图2-过去了更多的时间

请注意，概率图已变为多峰。这是因为在此示例中，考虑了多个方案：

1. 人在水上漂浮-中上模式
2. 该人处于救生筏中（受北方风的影响更大）-底部2种模式（由于“吉宾效应”而分裂）

概率图3-搜索沿红色的矩形路径进行。 此图显示了计划者（SAROPS的另一个组件）产生的最佳路径。如您所见，模拟器已搜索了这些路径，并且概率图已更新。

您可能想知道为什么搜索的区域没有减少到零概率。这是因为考虑到的可能性，搜索者有可能忽略水中的那个人，这是一个不可忽略的机会。可以理解的是，一个独居的人的失败概率要比救生筏上的一个人（容易看到）要高得多，这就是为什么顶部区域的概率没有下降太多的原因。$p(\text{fail})$

搜索失败的影响

这就是贝叶斯定理发挥作用的地方。进行搜索后，概率图将相应更新，因此可以最佳地计划另一个搜索。

在审查了维基百科上的贝叶斯定理并在BetterExplained.com上的文章贝叶斯定理的直观（简短）解释之后

我采用了贝叶斯方程：

$$P(\text{A}\mid\text{X}) = \frac{P(\text{X}\mid\text{A}) \times P(\text{A})}{P(\text{X})}$$

并将A和X定义如下...

• 事件A：此人位于该区域（网格单元）

• 测试X：在该区域（网格单元）上搜索失败，即搜索了该区域并且没有看到任何内容

屈服

$$P(\text{person there}\mid\text{unsuccessful}) = \frac{P(\text{unsuccessful}\mid\text{person there}) \times P(\text{person there})}{P(\text{unsuccessful})}$$

我在搜索和救援最佳规划系统中发现，SAROPS 通过考虑搜索路径和模拟漂移路径来计算搜索失败的概率。因此，为简单起见，假设我们知道是什么。$P(\text{fail})$$P(\text{fail})$

现在我们有了

$$P(\text{person there}\mid\text{unsuccessful}) = \frac{P(\text{fail}) \times P(\text{person there})}{P(\text{unsuccessful})}$$

1. 贝叶斯方程是否在此处正确应用？

2. 分母，即搜索失败的概率，将如何计算？

   他们还说，在“ 搜救最佳计划系统”中

   先验概率“以通常的贝叶斯方式归一化”以产生后验概率

3. 什么是“标准化的正常贝叶斯时尚”是什么意思？

   这是否意味着将所有概率除以，或只是简单地归一化以确保整个概率图加起来等于1？还是这些相同？$P(\text{unsuccessful})$

4. 最后，考虑到由于尚未搜索所有区域（网格单元），所以您有一些等于和一些等于吗？$P(\text{person there})$$P(\text{person there}\mid\text{unsuccessful})$

另一个简化说明-根据“ 搜索和救援最佳计划系统”，实际上是通过更新模拟漂移路径的概率，然后重新生成网格化概率图来计算后验分布。为了使此示例足够简单，我选择忽略sim路径，而专注于网格单元。

1. 假设网格单元之间具有独立性，那么是的，看来贝叶斯定理已被正确应用。
2. 分母可以扩展，例如， 使用法总概率的其中是补的，即此人不在。您可能会假设。 $$P(X) = P(X|A)P(A) + P(X|A^c)P(A^c)$$ $A^c$$A$$P(X|A^c)=1$
3. 由于我没有编写该手册，因此我不太确定“以正常的贝叶斯方式标准化”是什么意思。但是他们肯定在谈论以下三个方程足以找到的事实：因此，您不必计算，即归一化常数。他们是否使用它来更新单个网格单元或整个地图的概率，我都不知道（可能两者）。$P(A|X)$ $$P(A|X) \propto P(X|A)P(A)\quad P(A^c|X), \propto P(X|A^c)P(A^c), \mbox{ and } P(A|X)+P(A^c|X) = 1$$ $P(X)$

4. 让我们扩展表示法，使网格单元格和是个人在网格单元格中的事件，而是网格单元格的事件$i$$A_i$$i$$X_i$$i$$X$

   • $\sum_i P(A_i|X)=1$
   • $P(A_i|X) = P(A_i|X_i)\propto P(X_i|A_i)P(A_i)$$P(A_i|X) \propto P(A_i)$$P(A_i|X)$

   我们可以使用这两个假设来计算并相应地更新地图。$P(A_i|X)$

曾经有一位前教授曾指着一本书，其中有一章专门针对我的问题，即《海军作战分析》。他曾经是一名直升机飞行员，实际上已经执行过搜救任务！

在第8章中，提供了一个类似于以下示例（我对此进行了自定义）：

首先，有一个网格化的先验分布，用于失踪人员，船等的位置。

事先分配：

通过以我在问题中提到的相同方式应用贝叶斯方程，在一部分网格上进行搜索，并使用归一化后验分布更新概率。

$$P(\text{target in (i,j)}\mid\text{no detection}) = \frac{P(\text{no detection}\mid\text{target in (i,j)}) \times P(\text{target in (i,j)})}{P(\text{no detection})}$$

其中（i，j）=（纬度，经度）

在这种情况下，我决定搜索第3列，因为该列的总先验概率最大。

搜索第三列w / pFail = 0.2后的归一化后验分布：

我的问题主要是关于后部如何标准化。下面是它是如何在书中做了- 仅仅通过总和除以每个个体的后验概率，小号：

我选择搜索失败的概率为0.2，因为我的教授这样说：“我们只搜索80％的检测概率，因为通常这是在弹奏和准确度之间的最佳折衷。”

只是为了踢球，我运行了另一个示例，pFail为0.5。而在第一个示例（pFail = 0.2）中，第二个示例（pFail = 0.5）下一条最佳路线是在第 2 行上方。

搜索第三列w / pFail = 0.5后的归一化后验分布：

他还补充说：“飞机上有一个小清单，可以帮助确定最佳高度和空速。在飞行直升机上工作就像坐在洗衣机上面，读一本书，用胶带将其粘贴到另一台洗衣机上。”