如何处理不存在或缺失的数据？

我尝试了一种预测方法，并想检查我的方法是否正确。

我的研究正在比较不同种类的共同基金。我想使用GCC指数作为其中一个的基准，但问题是GCC指数于2011年9月停止，我的研究时间是2003年1月至2014年7月。因此，我尝试使用另一个指数MSCI指数，进行线性回归，但问题在于MSCI指数缺少2010年9月以来的数据。

为了解决这个问题，我做了以下工作。这些步骤有效吗？

1. MSCI指数缺少2010年9月到2012年7月的数据。我通过应用五个观察值的移动平均值来“提供”该数据。这种方法有效吗？如果是这样，我应该使用多少个观测值？

2. 在估计了缺失的数据之后，我对相互可用期间（从2007年1月到2011年9月）的GCC指数（作为因变量）与MSCI指数（作为自变量）进行了回归，然后针对所有问题对模型进行了校正。对于每个月，我将其余时间段的x替换为MSCI索引中的数据。这有效吗？

以下是逗号分隔值格式的数据，其中包含按行的年和按列的月。也可以通过此链接获得数据 。

系列GCC：

,Jan,Feb,Mar,Apr,May,Jun,Jul,Aug,Sep,Oct,Nov,Dec
2002,NA,NA,NA,NA,NA,NA,NA,NA,NA,NA,NA,117.709
2003,120.176,117.983,120.913,134.036,145.829,143.108,149.712,156.997,162.158,158.526,166.42,180.306
2004,185.367,185.604,200.433,218.923,226.493,230.492,249.953,262.295,275.088,295.005,328.197,336.817
2005,346.721,363.919,423.232,492.508,519.074,605.804,581.975,676.021,692.077,761.837,863.65,844.865
2006,947.402,993.004,909.894,732.646,598.877,686.258,634.835,658.295,672.233,677.234,491.163,488.911
2007,440.237,486.828,456.164,452.141,495.19,473.926,492.782,525.295,519.081,575.744,599.984,668.192
2008,626.203,681.292,616.841,676.242,657.467,654.66,635.478,603.639,527.326,396.904,338.696,308.085
2009,279.706,252.054,272.082,314.367,340.354,325.99,326.46,327.053,354.192,339.035,329.668,318.267
2010,309.847,321.98,345.594,335.045,311.363,299.555,310.802,306.523,315.496,324.153,323.256,334.802
2011,331.133,311.292,323.08,327.105,320.258,312.749,305.073,297.087,298.671,NA,NA,NA

系列MSCI：

,Jan,Feb,Mar,Apr,May,Jun,Jul,Aug,Sep,Oct,Nov,Dec
2007,NA,NA,NA,NA,1000,958.645,1016.085,1049.468,1033.775,1118.854,1142.347,1298.223
2008,1197.656,1282.557,1164.874,1248.42,1227.061,1221.049,1161.246,1112.582,929.379,680.086,516.511,521.127
2009,487.562,450.331,478.255,560.667,605.143,598.611,609.559,615.73,662.891,655.639,628.404,602.14
2010,601.1,622.624,661.875,644.751,588.526,587.4,615.008,606.133,NA,NA,NA,NA
2011,NA,NA,NA,NA,NA,NA,NA,NA,NA,NA,NA,NA
2012,NA,NA,NA,NA,NA,NA,NA,609.51,598.428,595.622,582.905,599.447
2013,627.561,619.581,636.284,632.099,651.995,651.39,687.194,676.76,694.575,704.806,727.625,739.842
2014,759.036,787.057,817.067,824.313,857.055,805.31,873.619,NA,NA,NA,NA,NA

我的建议与您的建议类似，除了我将使用时间序列模型而不是移动平均值。ARIMA模型的框架也适用于获取预测，不仅包括MSCI系列作为回归变量，而且还包括GCC系列的滞后时间，后者也可能捕获数据的动态。

首先，您可以为MSCI系列拟合ARIMA模型，然后对本系列中缺失的观测值进行插值。然后，您可以使用MSCI作为外生回归变量来拟合GCC系列的ARIMA模型，并基于此模型获得GCC的预测。在执行此操作时，您必须小心处理以图形方式观察到的断裂，这些断裂可能会扭曲ARIMA模型的选择和拟合。

这是我在中进行此分析的结果R。我使用该函数forecast::auto.arima选择ARIMA模型，并tsoutliers::tso检测可能的电平偏移（LS），临时更改（TC）或加法异常值（AO）。

这些是一旦加载的数据：

gcc <- structure(c(117.709, 120.176, 117.983, 120.913, 134.036, 145.829, 143.108, 149.712, 156.997, 162.158, 158.526, 166.42, 180.306, 185.367, 185.604, 200.433, 218.923, 226.493, 230.492, 249.953, 262.295, 275.088, 295.005, 328.197, 336.817, 346.721, 363.919, 423.232, 492.508, 519.074, 605.804, 581.975, 676.021, 692.077, 761.837, 863.65, 844.865, 947.402, 993.004, 909.894, 732.646, 598.877, 686.258, 634.835, 658.295, 672.233, 677.234, 491.163, 488.911, 440.237, 486.828, 456.164, 452.141, 495.19, 473.926, 
492.782, 525.295, 519.081, 575.744, 599.984, 668.192, 626.203, 681.292, 616.841, 676.242, 657.467, 654.66, 635.478, 603.639, 527.326, 396.904, 338.696, 308.085, 279.706, 252.054, 272.082, 314.367, 340.354, 325.99, 326.46, 327.053, 354.192, 339.035, 329.668, 318.267, 309.847, 321.98, 345.594, 335.045, 311.363, 
299.555, 310.802, 306.523, 315.496, 324.153, 323.256, 334.802, 331.133, 311.292, 323.08, 327.105, 320.258, 312.749, 305.073, 297.087, 298.671), .Tsp = c(2002.91666666667, 2011.66666666667, 12), class = "ts")
msci <- structure(c(1000, 958.645, 1016.085, 1049.468, 1033.775, 1118.854, 1142.347, 1298.223, 1197.656, 1282.557, 1164.874, 1248.42, 1227.061, 1221.049, 1161.246, 1112.582, 929.379, 680.086, 516.511, 521.127, 487.562, 450.331, 478.255, 560.667, 605.143, 598.611, 609.559, 615.73, 662.891, 655.639, 628.404, 602.14, 601.1, 622.624, 661.875, 644.751, 588.526, 587.4, 615.008, 606.133, 
NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 609.51, 598.428, 595.622, 582.905, 599.447, 627.561, 619.581, 636.284, 632.099, 651.995, 651.39, 687.194, 676.76, 694.575, 704.806, 727.625, 739.842, 759.036, 787.057, 817.067, 824.313, 857.055, 805.31, 873.619), .Tsp = c(2007.33333333333, 2014.5, 12), class = "ts")

步骤1：将ARIMA模型拟合到MSCI系列

尽管图形显示存在一些中断，但并未检测到异常值tso。这可能是由于在样本中间存在一些缺失的观察结果。我们可以分两步处理。首先，拟合一个ARIMA模型，并使用它对缺失的观测值进行插值；第二，为插入的序列拟合一个ARIMA模型，以检查可能的LS，TC，AO并在发现变化的情况下优化插入的值。

为MSCI系列选择ARIMA模型：

require("forecast")
fit1 <- auto.arima(msci)
fit1
# ARIMA(1,1,2) with drift         
# Coefficients:
#           ar1     ma1     ma2    drift
#       -0.6935  1.1286  0.7906  -1.4606
# s.e.   0.1204  0.1040  0.1059   9.2071
# sigma^2 estimated as 2482:  log likelihood=-328.05
# AIC=666.11   AICc=666.86   BIC=678.38

按照我对本文的回答中讨论的方法，填写缺少的意见 ：

kr <- KalmanSmooth(msci, fit1$model)
tmp <- which(fit1$model$Z == 1)
id <- ifelse (length(tmp) == 1, tmp[1], tmp[2])
id.na <- which(is.na(msci))
msci.filled <- msci
msci.filled[id.na] <- kr$smooth[id.na,id]

将ARIMA模型拟合到填充系列msci.filled。现在发现一些异常值。但是，使用其他选项可以检测到不同的异常值。我将保留在大多数情况下发现的那种，即在2008年10月进行一次级别转换（观察18）。您可以尝试例如这些和其他选项。

require("tsoutliers")
tso(msci.filled, remove.method = "bottom-up", tsmethod = "arima", 
  args.tsmethod = list(order = c(1,1,1)))
tso(msci.filled, remove.method = "bottom-up", args.tsmethod = list(ic = "bic"))

现在选择的模型是：

mo <- outliers("LS", 18)
ls <- outliers.effects(mo, length(msci))
fit2 <- auto.arima(msci, xreg = ls)
fit2
# ARIMA(2,1,0)                    
# Coefficients:
#           ar1     ar2       LS18
#       -0.1006  0.4857  -246.5287
# s.e.   0.1139  0.1093    45.3951
# sigma^2 estimated as 2127:  log likelihood=-321.78
# AIC=651.57   AICc=652.06   BIC=661.39

使用先前的模型来完善缺失观测值的插值：

kr <- KalmanSmooth(msci, fit2$model)
tmp <- which(fit2$model$Z == 1)
id <- ifelse (length(tmp) == 1, tmp[1], tmp[2])
msci.filled2 <- msci
msci.filled2[id.na] <- kr$smooth[id.na,id]

初始和最终插值可以在图中进行比较（此处未显示，以节省空间）：

plot(msci.filled, col = "gray")
lines(msci.filled2)

步骤2：使用msci.filled2作为外生回归变量，将ARIMA模型拟合到GCC

我忽略了开头的遗漏观察msci.filled2。在这一点上，我发现了一些困难，使用auto.arima随tso，所以我试图用手在几个ARIMA模型tso，并最终选择了ARIMA（1,1,0）。

xreg <- window(cbind(gcc, msci.filled2)[,2], end = end(gcc))
fit3 <- tso(gcc, remove.method = "bottom-up", tsmethod = "arima",  
  args.tsmethod = list(order = c(1,1,0), xreg = data.frame(msci=xreg)))
fit3
# ARIMA(1,1,0)                    
# Coefficients:
#           ar1    msci     AO72
#       -0.1701  0.5131  30.2092
# s.e.   0.1377  0.0173   6.7387
# sigma^2 estimated as 71.1:  log likelihood=-180.62
# AIC=369.24   AICc=369.64   BIC=379.85
# Outliers:
#   type ind    time coefhat tstat
# 1   AO  72 2008:11   30.21 4.483

GCC的图在2008年初发生了变化。但是，似乎它已被回归器MSCI捕获，除了2008年11月的一个异常值外，没有其他回归器被包括在内。

残差图未显示任何自相关结构，但该图显示了2008年11月的水平移动和2011年2月的累加离群值。但是，添加相应的干预措施对该模型的诊断更糟。此时可能需要进一步分析。在这里，我将继续基于上一个模型获得预测fit3。

$95\%$

newxreg <- data.frame(msci=window(msci.filled2, start = c(2011, 10)), AO72=rep(0, 34))
p <- predict(fit3$fit, n.ahead = 34, newxreg = newxreg)
head(p$pred)
# [1] 298.3544 298.2753 298.0958 298.0641 297.6829 297.7412
par(mar = c(3,3.5,2.5,2), las = 1)
plot(cbind(gcc, msci), xaxt = "n", xlab = "", ylab = "", plot.type = "single", type = "n")
grid()
lines(gcc, col = "blue", lwd = 2)
lines(msci, col = "green3", lwd = 2)
lines(window(msci.filled2, start = c(2010, 9), end = c(2012, 7)), col = "green", lwd = 2)
lines(p$pred, col = "red", lwd = 2)
lines(p$pred + 1.96 * p$se, col = "red", lty = 2)
lines(p$pred - 1.96 * p$se, col = "red", lty = 2)
xaxis1 <- seq(2003, 2014)
axis(side = 1, at = xaxis1, labels = xaxis1)
legend("topleft", col = c("blue", "green3", "green", "red", "red"), lwd = 2, bty = "n", lty = c(1,1,1,1,2), legend = c("GCC", "MSCI", "Interpolated values", "Forecasts", "95% confidence interval"))

1. 如果值随机丢失，则推算（即“由移动平均值提供”）有效。如果这是一段很长的时间，那么就不太可能了。问题的第二部分尚不清楚。
2. 根据问题，将模型用于数据范围之外的预测，从次优到无效，都被认为是什么：例如，如果两个指数之间的关系在2012-2014年发生变化，该怎么办？您可以对缺失的数据点使用回归估计值（但不能直接用另一个索引的原始值替换），但这仅在两个索引之间存在强关系时才有意义，并且至关重要的是，明确标记为估算值。“从所有问题中纠正模型”是什么意思？

2似乎很好。我会同意的。

至于1.我建议您使用数据集中的所有可用特征（在2011年9月之后不是NA）训练模型来预测GCC（在训练时，请省略在sep2011之前具有任何NA值的行）。模型应该非常好（使用K折交叉验证）。现在预测2011年9月及以后的GCC。

或者，您可以训练一个预测MSCI的模型，然后使用它来预测缺失的MSCI值。现在使用MSCI训练模型来预测GCC，然后预测2011年9月及以后的GCC