为什么方差的采样分布是卡方分布？

该声明

样本方差的样本分布是自由度等于的卡方分布，其中是样本大小（假设感兴趣的随机变量是正态分布的）。$n-1$$n$

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我的直觉

这对我来说有点直觉，1）因为卡方检验看起来像是平方和； 2）卡方分布只是正态分布的平方和。但是，我对此仍然不太了解。

题

这句话是真的吗？为什么？

[我会在讨论你的问题，你是乐于接受的事实，如果假设是独立同分布ñ （0 ，1 ）随机变量，然后Σ ķ 我= 1 ž 2 我〜χ 2 ķ。]$Z_i, i=1,2,\ldots,k$$N(0,1)$$\sum_{i=1}^{k}Z_i^2\sim \chi^2_k$

正式地，您需要的结果来自Cochran定理。（尽管可以用其他方式显示）

非正式地，考虑一下，如果我们知道总体均值，并估计其均方差（而不是样本均值）：，然后š 2 0 /σ2=$s_0^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2$，（ž我=（X我-μ）/σ），这将是$s_0^2/\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}Z_i^2$$Z_i=(X_i-\mu)/\sigma$次χ 2 Ñ随机变量。$\frac{1}{n}$$\chi^2_n$

样品平均是用来代替的总体均值，（事实上使得偏差较小的平方和，但是在只是这样的方式）Σ ñ 我= 1（Z ∗ i）$Z_i^*=(X_i-\bar{X})/\sigma$（关于哪个，见科克伦定理）。因此，而非 Ñ 小号2 0 / σ 2〜χ 2 Ñ我们现在有（ñ - 1 ）小号2 / σ 2〜χ 2 Ñ - 1。$\sum_{i=1}^{n}(Z_i^*)^2\,\sim\chi^2_{n-1}$$ns_0^2/\sigma^2\sim \chi^2_n$$(n-1)s^2/\sigma^2\sim\chi^2_{n-1}$