在一系列抛硬币中击中正面和反面图案所花费的时间

受彼得·唐纳利（Peter Donnelly）在TED上的演讲的启发，他在演讲中讨论了某种图案出现在一系列抛硬币中需要多长时间，我在R中创建了以下脚本。给定两种图案“ hth”和“ htt”，计算在您击中其中一种模式之前平均需要花费多长时间（即，掷多少硬币）。

coin <- c('h','t')

hit <- function(seq) {
    miss <- TRUE
    fail <- 3
    trp  <- sample(coin,3,replace=T)
    while (miss) {
        if (all(seq == trp)) {
            miss <- FALSE
        }
        else {
            trp <- c(trp[2],trp[3],sample(coin,1,T))
            fail <- fail + 1
        }
    }
    return(fail)
}

n <- 5000
trials <- data.frame("hth"=rep(NA,n),"htt"=rep(NA,n))

hth <- c('h','t','h')
htt <- c('h','t','t')

set.seed(4321)
for (i in 1:n) {
    trials[i,] <- c(hit(hth),hit(htt))    
}
summary(trials)

摘要统计如下，

      hth             htt        
 Min.   : 3.00   Min.   : 3.000  
 1st Qu.: 4.00   1st Qu.: 5.000  
 Median : 8.00   Median : 7.000  
 Mean   :10.08   Mean   : 8.014  
 3rd Qu.:13.00   3rd Qu.:10.000  
 Max.   :70.00   Max.   :42.000 

在演讲中，我们解释了两种方式的平均抛硬币次数将有所不同。从我的模拟中可以看出。尽管看了几次演讲，我还是不太明白为什么会这样。我知道'hth'会重叠，并且直觉上我认为您会比'htt'早点击打'hth'，但是事实并非如此。如果有人可以向我解释这一点，我将非常感激。

想一想当您第一次得到H并接着得到T时会发生什么。

情况1：您正在寻找HTH，并且您是第一次看HT。如果下一个折腾是H，那么您就完成了。如果是T，则回到第一个平方：既然最后两次掷是TT，那么您现在需要完整的HTH。

情况2：您正在寻找HTT，并且您是第一次看到HT。如果下一个折腾是T，那么您就完成了。如果是H，显然是个挫折；但是，这是次要的，因为您现在有了H，只需要-TT。如果下一个折腾是H，这不会使您的情况变得更糟，而T会使您的情况变得更糟，依此类推。

换句话说，在情况2中，您看到的第一个H占据了1/3的距离，从这一点开始，您不必从头开始。在第1种情况下情况并非如此，在这种情况下，TT会删除您的所有进度。

$8n+2$$n$$n$$HTH$$HTH$

另一种看待它的方式是，在达到“ HT”后，“ T”将把“ HTH”发送回起点，而“ H”将开始前进到可能的“ HTT”。

$k$$k$$2^k$$2+0+8=10$$0+0+8=8$

$5$

情况变得更糟：在Penney的游戏中，您选择一种竞赛模式，然后我选择另一种。如果您选择“ HTH”，那么我将选择“ HHT”并有2：1的获胜几率；如果您选择“ HTT”，那么我将再次选择“ HHT”，仍然有2：1的赔率。但是，如果您选择“ HHT”，那么我将选择“ THH”，赔率是3：1。第二个玩家总是可以偏向于赔率，并且最佳选择不会传递。

我喜欢画画。

这些图是有限状态自动机（FSA）。它们是很小的儿童游戏（如“ 溜槽”和“梯子”），通过响应令牌的翻转将令牌从一个节点移动到另一个节点，分别“识别”或“接受” HTT和HTH序列。令牌始于由箭头（线i）指向的顶部节点。每次抛硬币后，令牌都沿标记有该硬币结果的边缘（H或T）移动到另一个节点（我分别将其称为“ H节点”和“ T节点”）。当令牌落在终端节点上（没有向外的箭头，用绿色表示）时，游戏结束，FSA接受了该序列。

将每个FSA视为沿着线性轨道垂直发展。前后颠倒“正确”的顺序会导致令牌朝着其目的地前进。抛出“错误”值会导致令牌备份（或至少保持静止）。 令牌将备份到对应于最新掷出的最高级状态。 例如，HTT FSA的线II停留在放线II后，看到一个头，因为头可能是最终HTH的初始序列。它并没有全力以赴回到起点的方式，因为这将有效地完全忽略这最后头。

在验证这两款游戏确实符合所声称的HTT和HTH并逐行比较它们之后，现在很明显，HTH很难赢得比赛。它们的图形结构仅在第iii行不同，其中H将HTT带回到第ii行（并且T接受），但是在HTH中，T将我们带回到第i行（而H接受）。 玩HTH时，第iii行的处罚比玩HTT时的处罚更为严厉。

这可以量化。 我已经用接收所需的预期投掷次数标记了这两个FSA的节点。 让我们称这些节点为“值”。标签开始于

（1）在接受节点处写入明显值0。

设头的概率为p（H），头的概率为1-p（H）= p（T）。（对于一个公平的硬币，两个概率都等于1/2。）因为每次掷硬币都会使掷出的次数增加一，

（2）节点的值等于H节点的值加上p（H）乘以T节点的值加上p（T）乘以1。

这些规则确定值。这是一个快速而有用的练习，它可以验证所标记的值（假设有一个公平的硬币）是正确的。例如，考虑第ii行的HTH值。规则说8必须比8（第i行上的H节点的值）和6（第iii行上的T节点的值）的平均值大1；确定为8 = 1 +（1/2） * 8 +（1/2）* 6。您可以很容易地检查图中的其余五个值。

一些很好的答案。我想采取一点不同的方法，并解决反直觉性的问题。（我完全同意，顺便说一句）

这就是我的理解方式。想象一列打印在纸带上的随机连续投币结果列，其中包含字母“ H”和“ T”。

任意撕下该磁带的一部分，并制作相同的副本。

在给定的磁带上，如果磁带足够长，则序列HTH和序列HTT都会频繁出现。

但有时，HTH实例将一起运行，即HTHTH。（或什至很少是HTHTHTH）

对于HTT实例，不会发生这种重叠。

使用荧光笔挑出成功结果的“条纹”，一盘磁带上的HTH，另一盘磁带上的HTT。由于重叠，一些HTH条带会变短。因此，平均而言，它们之间的间隙将比其他磁带上的间隙稍长。

这有点像在等公共汽车，平均每五分钟一趟。如果允许公交车相互重叠，则平均间隔时间将略大于五分钟，因为有时两个公交车会同时经过。

如果您在任意时间到达，那么如果允许下一辆（对您来说，第一辆）公交车重叠，您将平均等待更长的时间。

我一直在寻找整数情况下的直觉（因为我正在通过Ross的概率模型概论）。所以我在考虑整数情况。我发现这有所帮助：

$A$

$B$

$A=B$$P(A \cap \tilde{B})=0$

$A \ne B$$P(A \cap \tilde{B}) \ge 0$

因此，让我想象一下，我有机会在下一次抽奖时完成图案。我画了下一个符号，它没有完成图案。在我的模式不重叠的情况下，绘制的符号可能仍允许我从头开始重新构建模式。

在重叠的情况下，完成局部模式所需的符号与开始重建所需的符号相同。因此，我不能执行任何操作，因此肯定需要等到下一次抽奖才能有机会重新开始构建。