边际效应标准误差如何使用增量法？

我有兴趣更好地理解delta方法，以近似包括交互项的回归模型的平均边际效应的标准误差。我已经研究了增量方法下的相关问题，但没有一个提供了我想要的东西。

考虑以下示例数据作为激励示例：

set.seed(1)
x1 <- rnorm(100)
x2 <- rbinom(100,1,.5)
y <- x1 + x2 + x1*x2 + rnorm(100)
m <- lm(y ~ x1*x2)

我感兴趣的平均边际效应（AMES）x1和x2。为了计算这些，我只需执行以下操作：

cf <- summary(m)$coef
me_x1 <- cf['x1',1] + cf['x1:x2',1]*x2 # MEs of x1 given x2
me_x2 <- cf['x2',1] + cf['x1:x2',1]*x1 # MEs of x2 given x1
mean(me_x1) # AME of x1
mean(me_x2) # AME of x2

但是，如何使用增量方法计算这些AME的标准误差？

我可以手动计算此特定交互的SE：

v <- vcov(m)
sqrt(v['x1','x1'] + (mean(x2)^2)*v['x1:x2','x1:x2'] + 2*mean(x2)*v['x1','x1:x2'])

但是我不明白如何使用增量方法。

理想情况下，我正在寻找有关如何考虑（和编码）任意回归模型AME的增量方法的一些指导。例如，此问题为特定的交互作用提供了SE的公式，而Matt Golder的本文档为各种交互模型提供了公式，但是我想更好地理解计算AME的SE的一般过程，而不是用于计算SE的公式。任何特定AME的SE。

增量法只是说，如果可以表示辅助变量，则可以表示为正态分布随机变量的函数，该辅助变量近似正态分布，其方差对应于辅助变量相对于正态变量的变化量（编辑：正如Alecos Papadopoulos所指出的那样，可以将delta方法更笼统地描述为不需要渐进正态性。最简单的方法是泰勒展开式，其中函数的第一项是平均值，而方差来自第二项。具体来说，如果是参数的函数，并且是该参数的一致的，正态分布的估计量： β b 克（b ）≈ 克（β ）+ ∇ 克（β ）'（b - β ）$g$$\beta$$b$

$$g(b) \approx g(\beta) + \nabla g(\beta)^\prime (b - \beta)$$ 由于是常数，并且是的一致估计量，因此我们可以说： 在这种情况下，是您的OLS估计，而是AME。你可以写这个特定的AME为： ，如果你把这个函数的梯度（记住，函数的系数不是），这将是： $\beta$β $b$$\beta$ $$\sqrt{n}\left(g(b)-g(\beta)\right)\,\xrightarrow{D}\,N\left(0, \nabla g(\beta)^\prime \cdot \Sigma_b \cdot \nabla g(\beta)\right)$$ $b$$g$ $$g(b_1,b_2)=b_1+b_2 \text{ mean}(x_2)$$ $x_2$ $$[1,\,\, \text{mean}(x_2)]^\prime$$ 并且的方差-协方差矩阵可能是： 将其插入方差公式和一些矩阵代数为您提供了所需的相同表达式。$b$ $$\left[ \begin{matrix} s_{11} & s_{12} \\ s_{12} & s_{22} \end{matrix}\right]$$

通常，如果要执行此操作，则可以将所有要输入的显式编码为所有系数的函数，然后使用取函数 的数值梯度（否则必须使用计算机代数）您的参数，以您估计的参数为准。然后，您只需获取方差-协方差矩阵和此数值梯度，然后将其插入公式中即可！增量法。$g$RnumDeriv

附录：在这种特定情况下，R代码为：

v <- vcov(m)

# Define function of coefficients. Note all coefficients are included so it 
# will match dimensions of regression coefficients, this could be done more 
# elegantly in principle
g <- function(b){
    return(b[2] + b[4] * mean(x2))
}

require(numDeriv) # Load numerical derivative package

grad_g <-  jacobian(g, m$coef) # Jacobian gives dimensions, otherwise same as
                               # gradient 

sqrt(grad_g%*% v %*% t(grad_g)) # Should be exactly the same 

请注意，对于此问题，始终最好使用精确梯度而不是数值梯度，因为精确梯度的计算误差较小。是线性的事实消除了这个问题，并且对于更复杂的函数，确切的梯度可能并不总是可用。$g$