Ripley K函数及其近亲L函数是一种标准的，功能强大的，易于理解的，理论上公认的且经常实施的“均匀性”度量。 尽管这些通常用于评估二维空间点配置，但使它们适应一维（通常在参考文献中未给出）所需的分析很简单。
理论
K函数估计典型点距离内点的平均比例。有关间隔的均匀分布[ 0 ，1 ]，真实的比例可以计算和（渐近在样本大小）等于1 - （1 - d ）2。L函数的适当一维形式从K减去该值以显示与均匀性的偏差。 因此，我们可能考虑将任何一批数据标准化为具有单位范围，并检查其L函数的零附近偏差。d[0,1]1−(1−d)2
工作实例
为了说明，我已经模拟大小的独立样本64从均匀分布和标绘它们的（归一化）L-功能对于较短距离（从0到1 / 3），从而产生估计为L函数的采样分布的包络。（在该包络线内的绘制点无法与均匀性区分开来。）在此之上，我从U形分布，具有四个明显成分的混合物分布和标准正态分布中绘制了相同大小样本的L函数。这些样本（及其父级分布）的直方图显示为参考，使用线符号匹配L函数的直方图。9996401/3
U形分布的尖锐尖峰（红色虚线，最左侧的直方图）创建了紧密间隔的值簇。L函数在处有很大的斜率反映了这一点。然后，L函数减小，最终变为负数，以反映中间距离处的间隙。0
来自正态分布（实线，最右边的直方图）的样本相当接近均匀分布。因此，其L函数不会很快偏离。但是，距离为0.10左右时，它已经足够上升到包络线上方，表明有轻微的聚集趋势。跨中间距离的持续上升表明聚类是分散的和广泛的（不限于某些孤立的峰）。00.10
来自混合物分布的样本的初始大斜率（中间直方图）显示了在小距离（小于）处的聚类。通过下降到负值，它发出中间距离的信号。将其与U形分布的L函数进行比较可以揭示：0处的斜率，这些曲线上升到0以上的量以及它们最终下降到0的速率都提供了有关存在于此的聚类性质的信息。数据。这些特征中的任何一个都可以选择为“均匀度”的单个度量，以适合特定的应用。0.15000
这些示例显示了如何检查L函数以评估数据偏离均匀性（“均匀性”）的方式，以及如何从中提取有关偏离的规模和性质的定量信息。
（一个确实可以绘制完整的L功能，延伸到的全部归一化距离，从均匀性评估的大型发车时间。通常，虽然，在较小的距离评估的数据的行为是更大的重要性。）1
软件
R生成该图的代码如下。它从定义用于计算K和L的函数开始。它创建了一种从混合物分布进行仿真的功能。然后，它生成模拟数据并作图。
Ripley.K <- function(x, scale) {
# Arguments:
# x is an array of data.
# scale (not actually used) is an option to rescale the data.
#
# Return value:
# A function that calculates Ripley's K for any value between 0 and 1 (or `scale`).
#
x.pairs <- outer(x, x, function(a,b) abs(a-b)) # All pairwise distances
x.pairs <- x.pairs[lower.tri(x.pairs)] # Distances between distinct pairs
if(missing(scale)) scale <- diff(range(x.pairs))# Rescale distances to [0,1]
x.pairs <- x.pairs / scale
#
# The built-in `ecdf` function returns the proportion of values in `x.pairs` that
# are less than or equal to its argument.
#
return (ecdf(x.pairs))
}
#
# The one-dimensional L function.
# It merely subtracts 1 - (1-y)^2 from `Ripley.K(x)(y)`.
# Its argument `x` is an array of data values.
#
Ripley.L <- function(x) {function(y) Ripley.K(x)(y) - 1 + (1-y)^2}
#-------------------------------------------------------------------------------#
set.seed(17)
#
# Create mixtures of random variables.
#
rmixture <- function(n, p=1, f=list(runif), factor=10) {
q <- ceiling(factor * abs(p) * n / sum(abs(p)))
x <- as.vector(unlist(mapply(function(y,f) f(y), q, f)))
sample(x, n)
}
dmixture <- function(x, p=1, f=list(dunif)) {
z <- matrix(unlist(sapply(f, function(g) g(x))), ncol=length(f))
z %*% (abs(p) / sum(abs(p)))
}
p <- rep(1, 4)
fg <- lapply(p, function(q) {
v <- runif(1,0,30)
list(function(n) rnorm(n,v), function(x) dnorm(x,v), v)
})
f <- lapply(fg, function(u) u[[1]]) # For random sampling
g <- lapply(fg, function(u) u[[2]]) # The distribution functions
v <- sapply(fg, function(u) u[[3]]) # The parameters (for reference)
#-------------------------------------------------------------------------------#
#
# Study the L function.
#
n <- 64 # Sample size
alpha <- beta <- 0.2 # Beta distribution parameters
layout(matrix(c(rep(1,3), 3, 4, 2), 2, 3, byrow=TRUE), heights=c(0.6, 0.4))
#
# Display the L functions over an envelope for the uniform distribution.
#
plot(c(0,1/3), c(-1/8,1/6), type="n",
xlab="Normalized Distance", ylab="Total Proportion",
main="Ripley L Functions")
invisible(replicate(999, {
plot(Ripley.L(x.unif <- runif(n)), col="#00000010", add=TRUE)
}))
abline(h=0, lwd=2, col="White")
#
# Each of these lines generates a random set of `n` data according to a specified
# distribution, calls `Ripley.L`, and plots its values.
#
plot(Ripley.L(x.norm <- rnorm(n)), col="Blue", lwd=2, add=TRUE)
plot(Ripley.L(x.beta <- rbeta(n, alpha, beta)), col="Red", lwd=2, lty=2, add=TRUE)
plot(Ripley.L(x.mixture <- rmixture(n, p, f)), col="Green", lwd=2, lty=3, add=TRUE)
#
# Display the histograms.
#
n.breaks <- 24
h <- hist(x.norm, main="Normal Sample", breaks=n.breaks, xlab="Value")
curve(dnorm(x)*n*mean(diff(h$breaks)), add=TRUE, lwd=2, col="Blue")
h <- hist(x.beta, main=paste0("Beta(", alpha, ",", beta, ") Sample"),
breaks=n.breaks, xlab="Value")
curve(dbeta(x, alpha, beta)*n*mean(diff(h$breaks)), add=TRUE, lwd=2, lty=2, col="Red")
h <- hist(x.mixture, main="Mixture Sample", breaks=n.breaks, xlab="Value")
curve(dmixture(x, p, g)*n*mean(diff(h$breaks)), add=TRUE, lwd=2, lty=3, col="Green")
