简单线性回归中截距和斜率的估计值是否独立？

考虑线性模型

$y_i= \alpha + \beta x_i + \epsilon_i$

并估计坡度和截距 $\hat{\alpha}$ 和 $\hat{\beta}$使用普通的最小二乘法。此数学统计参考说明如下：$\hat{\alpha}$ 和 $\hat{\beta}$ 是独立的（以他们的定理证明）。

我不确定我为什么。以来

$\hat{\alpha}=\bar{y}-\hat{\beta} \bar{x}$

这不是在说 $\hat{\alpha}$ 和 $\hat{\beta}$有关系吗？我可能在这里错过了一些非常明显的东西。

在以下子页面上转到相同的站点：

https://onlinecourses.science.psu.edu/stat414/node/278

您会更清楚地看到，他们指定了简单的线性回归模型，其中回归变量以样本均值为中心。这解释了为什么他们随后说$\hat \alpha$ 和 $\hat \beta$ 是独立的。

对于使用不居中的回归系数估算系数的情况，其协方差为

因此，您会看到，如果我们使用以 $\bar x$， 称它为 $\tilde x$，上述协方差表达式将使用居中回归变量的样本均值， $\tilde {\bar x}$，它将为零，因此也将为零，并且系数估算器将是独立的。

这篇文章，包含更多有关简单线性回归OLS代数的内容。