卷积为何起作用？

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所以我知道，如果我们要查找独立随机变量 $X + Y$ 和的概率分布，可以通过说 $X$ 和的概率分布来计算它 $Y$

f_{X + Y} (a) = \int_{x = - \infty}^{\infty} f_{X, Y} (X = x, Y = a - x) d x = \int_{x = - \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (a - x) d x

$f_{X + Y}(a) = \int_{x = -\infty}^{\infty} f_{X, Y}(X = x, Y = a - x)~dx = \int_{x = -\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(a - x)~dx$

从直觉上讲，这是有道理的，因为如果我们要找到两个随机变量求和为 $a$ 的概率，则基本上就是所有导致这些变量求和为的事件的概率之和 $a$ 。但是，我怎样才能正式证明这一说法呢？

probability

— 杰西卡（Jessica）
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问题略有不同，但答案相似。

— 卡尔，

Answers:

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更一般的解决方案考虑 $Z = X + Y$ ，其中 $X$ 和 $Y$ 不一定独立。对于您想知道PDF的来源或如何证明其合理性的问题，一种常见的解决方案是找到一个可能的累积量，然后进行区分以将CDF简化为PDF。

这是很容易地看到，在这种情况下其中是的区域 -为其平面。 $F_Z(z) = \mathrm{P}(Z \leq z) = \int \int_R f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ $R$ $x$ $y$ $x + y \leq z$

这是下图中的蓝色阴影区域。通过将其分解成条带来整合整个区域是很自然的-我已经用垂直条带做到了，但是水平条带可以做到。有效我结束了针对每个条带坐标，从至，并且沿每个条带我想值不上升线之上，所以。 $x$ $-\infty$ $\infty$ $y$ $x + y = z$ $y \leq z - x$

z <x + y

现在我们已经获得了关于和的积分极限，我们可以如下替换，，以使出现为的上限。只要您了解使用雅可比变量来更改变量，数学就很简单。 $x$ $y$ $u=x$ $v=x+y$ $z$ $v$

F_{Z} (z) = \int_{x = - \infty}^{x = \infty} \int_{y = - \infty}^{y = z - x} f_{X, Y} (x, y) d x d y = \int_{v = - \infty}^{v = z} \int_{u = - \infty}^{y = \infty} f_{X, Y} (u, v - u) d u d v

$F_Z(z) = \int_{x = -\infty}^{x=\infty}\int_{y=-\infty}^{y=z-x}f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_{v = -\infty}^{v=z}\int_{u=-\infty}^{y=\infty}f_{X,Y}(u,v-u)\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v$

只要满足某些条件，我们就可以相对于在积分符号下求出以获得： $z$

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y} (u, z - u) d u

$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}(u, z-u)\,\mathrm{d}u$

即使和不是独立的，也可以。但是如果是这样，我们可以将联合密度重写为两个边际密度的乘积： $X$ $Y$

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (u) f_{Y} (z - u) d u

$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty}f_X(u)f_Y(z-u)\,\mathrm{d}u$

如果需要的话，虚拟变量可以写为。 $u$ $x$

我对积分的表示正好遵循Geoffrey Grimmett和Dominic Walsh的6.4节，概率：简介，牛津大学出版社，纽约，2000年。

— 蠹虫
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\iint \dots d x d y

$\iint \cdots \mathrm{d}x\,\mathrm{d} y$

x

$x$

y

$y$

\int (\int \dots d x) d y

$\int\left(\int \cdots \mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y$

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@whuber，仔细考虑一下，这当然是我所知道的几乎所有教科书都适用的约定（因此，多重积分实际上是嵌套积分）。但是轻描淡写，Grimmett和Welsh的“概率：简介”与它们自己的关于极限和微分的左右顺序的约定绝对一致，例如，它们给出！

\int_{u} \int_{v} \int_{w} . . . d u d v d w

$\int_u \int_v \int_w ... du\,dv\,dw$

— 银鱼

在许多领域的交汇处，我们如何面对相互冲突的约定，这让我感到无比开心。与来自不同背景的人一起工作是一种乐趣。

— ub

@whuber我知道在各个国家/地区之间设置积分的约定会有很大不同-您可以在Tex SE tex.stackexchange.com/a/88961/25866上享受它，我希望它能扩展为涵盖多个积分！

— 银鱼

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当且仅当右侧的行为类似于的密度时，该陈述才成立。那是， $X+Y$

F_{X + Y} (a) = P (X + Y \leq a) = \int_{- \infty}^{a} f_{X + Y} (z) d z = \int_{- \infty}^{a} (\int f_{X} (x) f_{Y} (z - x) d x) d z

$F_{X+Y}(a)=\mathbb{P}(X+Y\le a) = \int_{-\infty}^a f_{X+Y}(z)\,\mathrm{d}z = \int_{-\infty}^a \left(\int f_X(x) f_Y(z-x)\,\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}z$

所有的。让我们从右手侧开始进行验证。 $a$

应用富比尼定理更改积分阶数，并使替换。其雅可比行列式的行列式为，因此变量的这种变化不会引入其他项。注意，因为和是一一对应的，并且是且仅当，我们可以将积分重写为 $z = x+y$ $1$ $z$ $y$ $-\infty \lt z \le a$ $-\infty \lt y \lt a-x$

= \int (\int_{- \infty}^{a - x} f_{X} (x) f_{Y} (y) d y) d x .

$=\int \left(\int_{-\infty}^{a-x}f_X(x)f_Y(y)\,\mathrm{d} y\right)\mathrm{d}x.$

根据定义，这是的整数 $\mathbb{R}^2$

= \iint I (x + y \leq a) f_{X} (x) f_{Y} (y) d y d x

$=\iint I(x+y\le a)f_X(x)f_Y(y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x$

其中是一组指示符函数。最后，由于和是独立的，因此对于所有，，仅将积分作为期望值 $I$ $X$ $Y$ $f_{(X,Y)}(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$ $(x,y)$

= \iint I (x + y \leq a) f_{(X, Y)} (x, y) d y d x = E (I (X + Y \leq a)) = P (X + Y \leq a),

$=\iint I(x+y\le a)f_{(X,Y)}(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x = \mathbb{E}(I(X+Y\le a))=\mathbb{P}(X+Y\le a),$

如预期的。

更一般而言，即使或之一或两者都不具有分布函数，我们仍然可以获得 $X$ $Y$

F_{X + Y} (a) = E_{X} (F_{Y} (a - X)) = E_{Y} (F_{X} (a - Y))

$F_{X+Y}(a) = \mathbb{E}_X\left(F_Y(a-X)\right) = \mathbb{E}_Y\left(F_X(a-Y)\right)$

直接从基本定义开始，使用指标的期望在概率和期望之间来回，并利用独立性假设将计算分解为关于和单独期望： $X$ $Y$

\begin{aligned} P (X + Y \leq a) & = E (I (X + Y \leq a)) \\ = E_{X} (E_{Y} (I (X + Y \leq a)) \\ = E_{X} (P_{Y} (Y \leq a - X)) \\ = E_{X} (F_{Y} (a - X)) . \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{P}(X+Y\le a) &= \mathbb{E}(I(X+Y\le a)) \\ &= \mathbb{E}_X\left(\mathbb{E}_Y(I(X+Y\le a)\right) \\ &= \mathbb{E}_X\left(\mathbb{P}_Y(Y\le a-X)\right) \\ &=\mathbb{E}_X(F_Y(a-X)). }$

例如，这包括离散随机变量的常用公式，尽管其形式与常用形式略有不同（因为它是用CDF而不是概率质量函数表示的）。

如果您有足够强大的关于互换导数和积分的定理，则可以针对区分两侧，以在一次笔划中获得密度， $a$ $f_{X+Y}$

\begin{aligned} f_{X + Y} (a) & = \frac{d}{d a} F_{X + Y} (a) = E_{X} (\frac{d}{d a} F_{Y} (a - X)) = E_{X} (f_{Y} (a - X)) \\ = \int f_{X} (x) f_{Y} (a - x) d x . \end{aligned}

$\eqalign{ f_{X+Y}(a) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a} F_{X+Y}(a) =\mathbb{E}_X\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a} F_Y(a-X)\right) = \mathbb{E}_X \left(f_Y(a-X)\right) \\ &= \int f_X(x) f_Y(a-x) \,\mathrm{d} x. }$

— ub
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