最小的指数分布的最大似然估计

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我被困在如何解决这个问题上。

因此，对于，我们有两个随机变量序列和。现在，和是具有参数和独立指数分布。然而，而不是观察和，我们观察到，而不是和。 $X_i$ $Y_i$ $i=1,...,n$ $X$ $Y$ $\lambda$ $\mu$ $X$ $Y$ $Z$ $W$

$Z=\min(X_i,Y_i)$ ，如果则，如果 0 。我必须在和的基础上找到和的最大似然估计的封闭形式。此外，我们需要证明这些是全局最大值。 $W=1$ $Z_i=X_i$ $Z_i=Y_i$ $\lambda$ $\mu$ $Z$ $W$

现在，我知道两个独立指数的最小值本身就是指数，比率等于比率之和，因此我们知道 $Z$ 是带参数指数 $\lambda+\mu$ 。因此，我们的最大似然估计器为： $\hat{\lambda}+\hat{\mu}=\bar{Z}$ 。

但是我对从这里去的方向感到困惑。我知道 $W$ 是参数的伯努利分布 $p=P(Z_i=X_i)$ ，但我不知道如何将其转换为关于参数之一的语句。例如，根据和/或，MLE $\bar{W}$ 将估算什么？我知道如果，则，但是在这里我很难弄清楚如何提出任何代数语句。 $\lambda$ $\mu$ $Z_i=X_i$ $\mu=0$

更新1：所以我在评论中被告知要推导 $Z$ 和的联合分布的可能性 $W$ 。

因此 $f(Z,W)=f(Z|W=1)\cdot p+f(Z|W=0)\cdot (1-p)$ 其中 $p=P(Z_i=X_i)$ 。正确？由于 $Z$ 和 $W$ 不是独立的，因此在这种情况下我不知道如何导出联合分布。

因此，根据上述的定义。但是现在呢？这并没有带我到任何地方。如果执行计算似然性的步骤，则会得到：（使用和作为混合物各部分的样本量...） $f(Z_i,W_i)=p\lambda e^{-\lambda z_i}+(1-p)\mu e^{-\mu z_i}$ $W$ $m$ $n$

$L(\lambda,\mu)=p^m\lambda^m e^{-\lambda \sum{z_i}}+(1-p)^n\mu^n e^{-\mu \sum{z_i}}$

$\log L=m\log p+m\log\lambda-\lambda \sum{z_i}+n\log(1-p)+n\log\mu-\mu \sum{z_i}$

如果我采用偏导数，这告诉我我对和 MLE估计值只是的条件的平均值。那是， $\lambda$ $\mu$ $Z$ $W$

$\hat{\lambda}=\frac{\sum{Z_i}}{m}$

$\hat{\mu}=\frac{\sum{Z_i}}{n}$

和

$\hat{p}=\frac{m}{n+m}$

self-study maximum-likelihood exponential minimum

— 瑞安·西蒙斯（Ryan Simmons）
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1

今天刚刚回答了类似的MLE问题，我是否可以指导您提出一些想法的解决方案？问题之间的关系是，您的数据也自然分为两个不相交的组：那些和那些。归结为写下形式的观察可能性；和，和之间的对称性立即产生形式为数据的可能性，然后您就可以运行了。

W = 0

$W=0$

W = 1

$W=1$

(Z, W) = (z, 0)

$(Z,W)=(z,0)$

X

$X$

Y

$Y$

μ

$\mu$

λ

$\lambda$

(z, 1)

$(z,1)$

— ub

不要急于写下最大的可能性！首先，表达的联合分布，然后推导与的样本相关的似然由于指数假设，该似然度为封闭形式。然后只有这样，您才能尝试使函数最大化，从而得出最大似然。

(Z, W)

$(Z,W)$

(Z_{i}, W) =_{i})

$(Z_i,W)=_i)$

— 西安

@whuber：（1）它是相当简单确实并涉及之间的分离的和但二者组涉及既和，因为它们带来的信息两者和，因为。

(z_{i}, 1)

$(z_i,1)$

(z_{i}, 0)

$(z_i,0)$

μ

$\mu$

λ

$\lambda$

X_{i}

$X_i$

Y_{i}

$Y_i$

W_{i} = I (X_{i} < Y_{i})

$W_i=\mathbb{I}(X_i<Y_i)$

— 西安

2

@西安是的-与我所链接的正态理论示例的相似之处继续存在，因为这两个组都提供了有关公共参数（比例）的信息，其估计因此将涉及“合并”数据从组。在这里可以看到告诉我们的估计值（的比率或反比例）应如何分配到和单独估计值中。

σ

$\sigma$

\bar{W}

$\bar W$

λ + μ

$\lambda+\mu$

Z

$Z$

λ

$\lambda$

μ

$\mu$

— ub

我已经读完了另一个主题whuber，但老实说，我不明白如何将其应用于本示例。Z和W不是独立的，那么如何得出联合分布？

— 瑞安·西蒙斯

Answers:

1

我没有足够的意见要发表，所以我在这里写。我认为，如果您考虑以下因素，则可以从生存分析的角度来看待您发布的问题：

$X_i$ ：真正的生存时间，

$Y_i$ ：审查时间，

两者都有独立于和的指数分布。那么是观察到的生存时间，是审查指标。 $X$ $Y$ $Z_i$ $W_i$

如果您熟悉生存分析，我相信您可以从这一点开始。

注意：很好的来源：DRCox和D.Oakes对生存数据的分析

下面是一个示例：假设生存时间分布的pdf为。那么生存函数为：。对数似然是： $f(t)=\rho e^{-\rho t}$ $S(t)=e^{-\rho t}$

$\mathcal{l}= \sum_u \log f(z_i) + \sum_c \log S(z_i)$

分别对未经审查的人（）和受审查的人（）求和。 $u$ $c$

由于的事实，其中h（t）是危险函数，可以这样写： $f(t)=h(t)S(t)$

$\mathcal{l}= \sum_u \log h(z_i) + \sum \log S(z_i)$

$\mathcal{l}= \sum_u \log \rho - \rho \sum z_i$

和最大似然估计的是： $\hat{\rho}$ $\rho$

$\hat{\rho}=d/\sum z_i$ 其中是的总数 $d$ $W_i=1$

— 朱载
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