平均值加上一个标准差可以超过最大值吗？

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对于具有最小0和最大94.33的样本，我的平均值为74.10，标准差为33.44。

我的教授问我，平均值加一个标准差超过最大值的意思。

我向她展示了许多有关此的示例，但她不理解。我需要一些参考给她看。可能是统计书中专门讨论此问题的任何章节。

— 博云·奥姆鲁（Boyun Omuru）
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为什么要从平均值中增加（或减去）一个标准偏差？SD是对数据传播的度量。您是否想要平均值的标准误？

— 恢复莫妮卡-G.辛普森2014年

我不想加减，想要这个的是我的教授。这就是她理解标准偏差的方式

— Boyun Omuru

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一个有趣的例子是样本（0.01,0.02,0.98,0.99）。均值加上标准偏差以及均值减去标准偏差都在[0,1]之外。

— Glen_b-恢复莫妮卡2014年

也许她只是在考虑正态分布？

— user765195 2014年

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当然，平均值加1 sd可以超过最大观测值。

考虑样本1、5、5、5-

它的平均值为4，标准差为2，因此平均值+ sd为6，比样本最大值大一倍。这是R中的计算：

> x=c(1,5,5,5)
> mean(x)+sd(x)
[1] 6

这很常见。当有一堆高值并且左边有尾巴时（即，当左偏度很强并且峰值接近最大值时），往往会发生这种情况。

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同样的可能性适用于概率分布，而不仅仅是样本-总体均值加上总体sd可以轻易超过最大可能值。

这里的一个的示例密度，最大可能值为1： $\text{beta}(10,\frac{1}{2})$

在此处输入图片说明

在这种情况下，我们可以查看Wikipedia页面的beta分布，该页面的平均值为：

$\operatorname{E}[X] = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}\!$

而方差为：

$\operatorname{var}[X] = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\!$

（尽管我们不必依赖维基百科，因为它们很容易获得。）

所以对于和 $\alpha=10$ ，我们有平均和SD，所以平均+ SD，超过1的可能最大。 $\beta=\frac{1}{2}$ $\approx 0.9523$ $\approx 0.0628$ $\approx 1.0152$

也就是说，很容易将平均值+ sd的值作为数据值观察不到。

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对于模式最大的任何情况，皮尔逊模式偏斜度仅需，表示mean + sd超过最大值。它可以取正或负的任何值，因此我们可以很容易地看到它。 $<\,-1$

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一个密切相关的问题是经常看到与置信区间二项式比例，其中通常使用的间隔中，正态近似间隔可以产生限制之外。 $[0,1]$

例如，在伯努利试验中考虑成功人口比例的95.4％正常近似间隔（结果分别为1或0分别代表成功和失败事件），其中4个观察结果中的3个为“ ”，一个观察结果为“ ”。 $1$ $0$

然后，对于时间间隔的上限为 $\hat p + 2 \times \sqrt{\frac{1}{4}\hat p \left(1 - \hat p \right)} = \hat p + \sqrt{\hat p (1 - \hat p )} = 0.75 + 0.433=1.183$

这仅是样本平均值+二项式sd的通常估计值...并产生不可能的值。

为0,1,1,1通常的样品SD是0.5，而不是0.433（它们之间的区别，因为标准偏差的二项式ML估计对应于通过将方差而非）。但这没有区别-在任何一种情况下，均值+标准差均超过最大可能的比例。 $\hat p(1-\hat p)$ $n$ $n-1$

这个事实-二项式的正常近似间隔会产生“不可能的值”，这在书本和论文中经常提到。但是，您不是在处理二项式数据。然而，类似的问题-均值+一些标准偏差不是可能的值。

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在您的情况下，样本中异常的“ 0”值使sd大于将平均值拉下来的幅度，这就是平均值+ sd高的原因。

在此处输入图片说明

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（问题是- 用什么推理是不可能的？ -因为在不知道为什么有人会认为根本存在问题的情况下，我们该怎么解决？）

当然，从逻辑上讲，通过举一个例子来证明这是有可能的。您已经做到了。在没有明确说明为什么不这样做的情况下，您该怎么办？

如果一个例子还不够，那么什么证明是可以接受的？

仅仅指向一本书中的陈述实际上是没有意义的，因为任何一本书都可能做出错误的陈述-我一直都在看。一个人必须依靠直接的证明来证明它是可能的，无论是代数证明（例如可以从上面的beta例子构建的*），还是通过数字例子（您已经给出的例子），任何人都可以自己检查一下真相。。

* whuber在评论中提供了beta案例的确切条件。

— Glen_b-恢复莫妮卡
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0 < β < 1

$0\lt\beta\lt 1$

α > β (1 + β) / (1 - β)

$\alpha \gt \beta(1+\beta)/(1-\beta)$

(α, β)

$(\alpha,\beta)$

1

$1$

让我进一步解释。我正在寻找用于矫正牙齿的特定器具的准确度百分比。该设备对7颗牙齿的准确度百分比如下：％76,19，％77,41，％94,33，％91,06，％0，％87,77，％91,96。我的教授在平均值上加上了一个标准偏差，并指出即使％100也不能超过最大值，因为％100是Appliancek可以执行的最大精度百分比。

— Boyun Omuru 2014年

2

没错，百分比> 100％对您的情况毫无意义。这个问题实际上是不成文的前提下，添加一个SD的平均值应该是有意义在这种情况下，当它没有。那就是我认为您的困难的根源。如果我们了解前提来自何处，则可能会导致更好的解决方案。可能在某本书的某处陈述了简单的事实（不过这是一个琐碎的观察，所以也有可能不是），但我怀疑这种方式是否会满足她的需求，因为她的错误前提是问题的根源。

— Glen_b-恢复莫妮卡2014年

1

确实-我的次要点是，这种好奇心是由标准偏差代表强非对称分布所导致的，而不是由于采样所致。但总的来说，我认为您的回答很好

— 亨利

2

@tomka我试图帮助许多处于类似职位的学生。我最终了解到（可能并不奇怪）的经验法则，实际上不可能通过他们的学生向主管教任何东西。

— Glen_b-恢复莫妮卡

4

根据切比雪夫不等式，小于k ^-2点的距离可以大于k标准差的距离。因此，对于k = 1，这意味着少于100％的样本可以超过一个标准偏差。

看看下界更有趣。您的教授应该更惊讶一些点，其均值比平均值低2.5个标准差。但是我们现在知道，只有大约1/6的样本可以为0。

— 杂项
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3

$\sigma$ $\sigma$

— 细语
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这是一个很好的贡献。不过，我不确定SD是否真的“假定”正态分布。

— gung-恢复莫妮卡

3

“分布拟合”和寻找正态性转化是具有不同目标的不同过程。

— ub

2

$X$ $1$ $0<p<1$ $0$ $1-p$

Ë （ X ） = p ， 小号 Ë （ X ） = \sqrt{p （ 1个 - p ）}

$E(X) = p,\;\; SE(X) = \sqrt {p(1-p)}$

我们想要

Ë （ X ） + 小号 Ë （ X ） > 1个 \Rightarrow p + \sqrt{p （ 1个 - p ）} > 1个

$E(X)+ SE(X) > 1 \Rightarrow p +\sqrt {p(1-p)} >1$

\Rightarrow \sqrt{p （ 1个 - p ）} > （ 1个 - p ）

$\Rightarrow \sqrt {p(1-p)} > (1-p)$

将两边取平方

p （ 1个 - p ） > （ 1个 - p ）^{2} \Rightarrow p > 1个 - p \Rightarrow p > \frac{1个}{2}

$p(1-p) > (1-p)^2 \Rightarrow p > 1-p \Rightarrow p > \frac 12$

$p>1/2$ $E(X)+ SE(X) > \max X$

$p=0.7$ $1$

$U(a,b)$ $E(U)+ SE(U) < \max U=b$

— 阿莱科斯·帕帕多普洛斯
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