p值的微妙之处：更大等于更大

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当我阅读Wassermann的《所有统计》一书时，我注意到p值的定义有些微妙，我无法理解。Wassermann非正式地将p值定义为

[..] 观察测试统计值等于或大于实际观察值的概率（在下）。 $H_0$

重点已添加。正式上也一样（定理10.12）：

假设大小测试的形式为 $\alpha$

仅当拒绝。 $H_0$ $T(X^n) \ge c_\alpha$

然后，

$p -value = sup_{θ \in Θ_{0}} P_{θ_{0}} [T (X^{n}) \geq T (x^{n})]$ $\text{$p$-value} = \sup_{\theta\in\Theta_0} P_{\theta_0}[T(X^n) \ge T (x^n)]$
其中 $x^n$ 是的观测值 $X^n$ 。如果 $\Theta_0=\{\theta_0\}$ 则
$p -value = P_{θ_{0}} [T (X^{n}) \geq T (x^{n})]$ $\text{$p$-value} = P_{\theta_0}[T(X^n) \ge T (x^n)]$

此外，Wassermann将Pearson的 $\chi^2$ 检验（和其他类似的检验）的p值定义为：

p -value = P [χ_{k - 1}^{2} > T] .

$\text{$p$-value} = P[\chi^2_{k-1} > T].$

我想澄清的部分是第一个定义中的大等号（ $\ge$ ）和第二个定义中的大号（ $>$ ）。我们为什么不写 $\ge T$ ，它会匹配“ 等于或大于极限” 的第一引号？

这是绝对的方便，以便我们将p值计算为吗？我注意到R也使用带有符号的定义，例如in 。 $1-F(T)$ $>$ chisq.test

hypothesis-testing chi-squared p-value

— 巨兽
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如果测试统计信息是连续的，您是否知道两个定义的p值相同？

— mark999 2014年

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对于连续分布并不重要，但是这个事实不应该使您忘记和之间的区别，因为在数学上这很重要。这在应用程序中也很重要，因为由于“现实生活的离散性”，我们实际上可能会遇到恰好 p值。

\leq

$\leq$

<

$<$

α

$\alpha$

— HorstGrünbusch2014年

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“等于或大于极限”是正确的。

形式上，那么，如果该分布使得获得检验统计量本身的概率为正，则该概率（以及任何极端的概率，例如另一尾的相应值）应包括在p值中。

当然，对于连续统计量，完全相等的概率为0。如果我们说或，则没有区别。 $>$ $\geq$

— Glen_b-恢复莫妮卡
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的第一点是假设空间在整个参数空间内在拓扑上是封闭的。如果您对属于该假设的参数收敛序列有一些断言，那么无需考虑随机性，这将是一个有用的约定，因为这样您便会知道该限制并不突然属于替代项。 $\geq$

现在考虑概率分布，它们通常是右连续的。这意味着封闭的假设空间到区间的映射再次被封闭。这就是为什么置信区间也按惯例关闭的原因。 $[0,1]$

这增强了数学。想象一下，您将为非对称概率分布的位置参数构造一个置信区间。在那里，您必须将长度换成上尾巴，将长度换成下尾巴。两条尾巴的概率总和为。要使CI尽可能多地提供信息，您必须缩短CI的长度，以使其覆盖率仍然为。这是一个封闭的集合。您可以通过一些迭代算法（例如Banach的不动点定理）找到最佳解。如果是开放集，则无法执行此操作。 $\alpha$ $\geq 1-\alpha$

— 霍斯特·格伦布施
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