添加的变量图（部分回归图）在多元回归中有什么解释？

我有一个电影数据集模型，并使用了回归：

model <- lm(imdbVotes ~ imdbRating + tomatoRating + tomatoUserReviews+ I(genre1 ** 3.0) +I(genre2 ** 2.0)+I(genre3 ** 1.0), data = movies)
library(ggplot2)
res <- qplot(fitted(model), resid(model))
res+geom_hline(yintercept=0)

给出了输出：

现在，我第一次尝试使用名为“添加的变量图”的方法，得到以下输出：

car::avPlots(model, id.n=2, id.cex=0.7)

问题是我试图使用google理解添加的变量图，但是我无法理解它的深度，看到该图我理解了它基于与输出相关的每个输入变量的偏斜表示。

我能否获得更多细节，例如其如何证明数据规范化？

为了说明我将不太复杂的回归模型$Y = \beta_1 + \beta_2 X_2 + \beta_3 X_3 + \epsilon$其中，预测变量$X_2$和$X_3$可以是相关的。比方说，在斜坡$\beta_2$和$\beta_3$均为正，所以我们可以说，（我）$Y$随着$X_2$的增加，如果$X_3$是保持不变的，因为$\beta_2$为正; （ii）$Y$随着$X_3$增大时，如果$X_2$是保持恒定的，因为$\beta_3$是正的。

请注意，重要的是要通过考虑其他变量保持恒定（“ ceteris paribus”）时发生的情况来解释多个回归系数。假设我刚回归$Y$针对$X_2$与模型$Y = \beta_1' + \beta_2' X_2 + \epsilon'$。我的斜率系数估计$\beta_2'$，其测量在作用$Y$的在增加一个单位$X_2$ 不保持 X 3β 2从多重回归-这还测量上的效果$X_3$恒定的，可以是从我的估计不同是相关的。$\beta_2$$Y$的在增加一个单位$X_2$，但它确实保持$X_3$是恒定的。与我的估计问题$\hat{\beta_2'}$是它患有省略可变偏压，如果$X_2$和$X_3$

要理解原因，可以想象$X_2$和$X_3$是负相关的。现在，当我增加$X_2$由一个单位，我知道的平均值$Y$因为应该增加$\beta_2 > 0$。但作为$X_2$的增加，如果我们不抱$X_3$常量，那么$X_3$趋于减少，而且由于$\beta_3 > 0$，这将趋于减少的平均值$Y$。因此，如果我允许3，则X 2单位增加的整体效果会降低也各不相同，因此β ' 2 β 2$X_2$$X_3$$\beta_2' < \beta_2$。事情变得更糟了更强烈的$X_2$和$X_3$是相关的，并且效果就越大$X_3$通过$\beta_3$ -在一个非常严重的情况下，我们甚至会发现$\beta_2' < 0$，即使我们知道，其他条件不变，$X_2$对$Y$有积极影响！

希望您现在可以看到为什么在X 2上绘制$Y$的图形对于可视化模型中Y和X 2之间的关系是一种糟糕的方法。在我的例子，你的眼睛会被吸引到具有斜率最佳拟合线的^ β ' 2不反映^ β 2从你的回归模型。在最坏的情况下，您的模型可能会预测Y随着X 2的增加而增加（其他变量保持不变），但是图形上的点表明Y随着X 2的增加而减少。$X_2$$Y$$X_2$$\hat{\beta_2'}$$\hat{\beta_2}$$Y$$X_2$$Y$$X_2$

问题在于，在$Y$对$X_2$的简单图中，其他变量未保持恒定。这是对添加变量图（也称为偏回归图）的好处的关键见解-它使用Frisch-Waugh-Lovell定理“部分淘汰”其他预测变量的影响。绘图上的水平轴和垂直轴可能最容易理解*为“ 考虑其他预测变量后的$X_2$ ”和“ 考虑其他预测变量后的$Y$ ”。一旦考虑了所有其他预测变量，您现在就可以查看$Y$ 和$X_2$ 之间的关系。。因此，例如，您现在可以在每个图中看到的斜率反映了原始多重回归模型的部分回归系数。

增加的变量图的很多值都来自回归诊断阶段，尤其是因为增加的变量图中的残差正好是原始多重回归的残差。这意味着可以通过与查看简单回归模型而非多元回归模型的图相似的方式来识别异常值和异方差。还可以看到影响点-这在多重回归中很有用，因为在考虑其他变量之前，某些影响点在原始数据中并不明显。在我的示例中，中等大的$X_2$值在数据表中可能看起来并不不合适，但是如果$X_3$值也很大，尽管$X_2$和$X_3$ 2值异常大，并且在添加的变量图上会更加突出。呈负相关，则这种组合很少见。“考虑其他预测因素”，即$X_2$

$*$从技术上讲，它们是其他两个多元回归的残差：对除 X 2以外的所有预测变量进行$Y$回归得到的残差在纵轴上，而对其他所有预测变量进行回归 X 2进行残差的则在横轴上。这就是“ Y给别人”和“ X 2给别人”的传说在告诉你的。由于这两个回归的平均残差均为零，因此（ X 2$X_2$$X_2$$Y$$X_2$$X_2$给出其他，$Y$给定其他值）将为（0，0），这说明了为什么添加的变量图中的回归线始终穿过原点。但是我经常发现提到轴只是其他回归的残差使人们感到困惑（也许不足为奇，因为我们现在正在谈论四种不同的回归！），所以我尝试不去赘述。将它们理解为“ $X_2$给其他人”和“ $Y$给其他人”，您应该会很好。

关于情节中看到的趋势，真的有什么可以说的吗？

当然，它们的斜率是原始模型的回归系数（部分回归系数，所有其他预测变量保持不变）