为什么股票价格是对数正态而股票收益是正常的

除了收益可能为负而价格必须为正之外，将股票价格建模为对数正态分布而将股票回报建模为正态分布背后还有其他原因吗？

首先要点：

i）这些分布惯例充其量只是近似值。它们可能是方便的模型，但我们不应将其与股票价格或收益的实际分布相混淆。

ii）股票价格通常会上涨（但无论如何，均值会发生变化；均值不稳定）。因此，当我们谈论股票价格的分布时，通常不是指其边际分布，而是有条件的分布。因此，我们通常倾向于表示近似于对数正态，且均值随改变（具体来说，是有条件的对数正态，以某个先前值和经过的时间为条件）。方差也可以改变，在这种情况下，均值和方差条件取决于某个先前的值和时间。因此，例如，“股价大约为对数正态”可能意味着 $y_t$$t$$y_t/y_{t-1} \, \dot{\sim}\, \log N(\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$或等效地$y_t \, \dot{\sim}\, \log N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$

iii）请注意，对于小，。$x$$\log(1+x)\approx x$

通常，对于短期收益（例如每日收益），很小，通常为0.01左右，或者通常更少-绝对价值$\frac{y_{t}-y_{t-1}}{y_{t-1}}$

如果该比例较小，则$\log(y_t)-\log(y_{t-1})=\log(\frac{y_t}{y_{t-1}})\approx \frac{y_t}{y_{t-1}}-1=\frac{y_t-y_{t-1}}{y_{t-1}}$

也就是说，回报率大约等于原木股票价格的变化（尝试使用实际股票价格，然后看它们几乎相同）。

因此，如果

$$y_t \, \dot{\sim} \, \log N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$$

这意味着

$$\log(y_t) \, \dot{\sim} \, N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$$

然后

$$\frac{y_t-y_{t-1}}{y_{t-1}}\approx \log(y_t)-\log(y_{t-1})\,\dot{\sim}\,N(\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$$