正弦波的概率分布

当存在一些测量误差时，我希望从一个振荡函数来分析计算采样点的概率分布。我已经计算了“无噪声”部分的概率分布（我将在结尾处进行介绍），但是我不知道如何包括“噪声”。

数值估算

更清楚地说，假设有一个函数，您可以在一个周期内随机选择点；如果您将直方图上的点归类，您将获得与分布有关的信息。$y(x) = \sin(x)$

无噪音

例如，这里是和相应的直方图$sin(x)$

有噪音

现在，如果存在一些测量误差，那么它将改变直方图的形状（因此，我认为是基本分布）。例如

解析计算

因此，希望我已经说服了两者之间存在一些差异，现在我将写出如何计算“无噪音”情况：

无噪音

$$y(x) = \sin(x)$$

然后，如果我们采样的时间是均匀分布的，则的概率分布必须满足：$y$

$$P(y) dy = \frac{dx}{2\pi}$$

然后因为

$$\frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy}\left(\arcsin(y)\right) = \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}}$$

所以

$$P(y) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1 - y^{2}}}$$

通过适当的归一化可以拟合在“无噪声”情况下生成的直方图。

有噪音

所以我的问题是：如何在分布中分析性地包含噪声？我认为这有点像以巧妙的方式组合分布，或者在的定义中包括噪声，但是我没有前进的想法和方式，因此任何提示/技巧甚至是推荐的阅读都将是很多赞赏。$y(x)$

这取决于噪声过程的结构。

假设我正确理解了您的情况，如果噪声是可加的，独立且分布均匀的，则只需将噪声密度与的密度进行卷积即可。$Y$

如果是随机均匀在一个周期，在您的无声过程条件是，这是简并的，平均和方差0的边缘分布是那些简并分布的均匀混合物; 看来您已经正确分配了该分配；我们称密度为。$X_i$$x$$Y_i|X_i=x_i$$\sin(x_i)$$Y$$g$

例如，如果您的噪声是，也就是说，则是具有无噪声变量均匀混合的噪声总和的密度。$\epsilon_i\sim N(0,\sigma^2)$$f(\epsilon)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\exp({\frac{\epsilon^2}{2\sigma^2}})$$f*g$

$f_{Y+\epsilon}(z) = (f*g)(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{Y}(y)f_{\epsilon}(z-y)dy=\int_{-\infty}^{\infty} f_{Y}(z-w)f_{\epsilon}(w)dw$

（此卷积是通过数字进行的；我不知道该示例中该积分的易处理性，因为我没有尝试过。）

我认为P（x）的派生表达式偏离了两倍。均匀分布的采样时间等效于在-pi，pi间隔内均匀分布相位。三角函数在y间隔{-1,1}上分布概率。在此间隔内积分P（y）必须= 1，而不是使用上面的被积数获得的2。我认为P（y）= 1 /（pi Sqrt（1-y ^ 2））