具有逆自变量的回归

假设我有一个因变量的向量和一个自变量的向量当相对绘制时，我发现两者之间存在线性关系（上升趋势）。现在，这也意味着和之间存在线性下降趋势。Y N X Y $N$$Y$$N$$X$$Y$ Y$\frac{1}{X}$$Y$$X$

现在，如果我运行回归： 并获得拟合值ÿ = β$Y = \beta * X + \epsilon$$\hat{Y} = \hat{\beta}X$

然后运行回归：并获得拟合值 〜Ŷ = α$Y = \alpha * \frac{1}{X} + \epsilon$$\tilde{Y} = \hat{\alpha} \frac{1}{X}$

和这两个预测值大约相等吗？ 〜$\hat{Y}$$\tilde{Y}$

 当Y相对于1绘制时，我发现两者之间存在线性关系（上升趋势）。现在，这也意味着Y和X之间存在线性下降趋势$\frac{1}{X}$

最后一句话是错误的：存在下降趋势，但绝不是线性的：

我用作为函数加上Y上的一点噪声。如您所见，在将Y相对于1作图时$f(x) = \frac{1}{x}$$Y$$Y$产生线性行为，Y对X的影响远非线性。$\frac{1}{X}$$Y$$X$

（@whuber指出对$Y$绘图看起来不均等。我认为对于低Y，它似乎具有较高的方差，因为高得多的大小写密度会导致更大的范围，这实际上是我们所感知的。实际上，数据是同调的：我曾经生成数据，所以不依赖X的大小。）$\frac{1}{X}$$Y$Y = 1 / X + rnorm (length (X), sd = 0.1)$X$

因此，一般而言，这种关系是非线性的。也就是说，除非您的范围太窄以至您可以近似d $X$$\frac{d \frac{1}{x}}{dx} = - \frac{1}{x^2} \approx const.$

底线：

• $\frac{1}{X}$
• $X$$\frac{1}{X}$$X$

我认为没有理由让他们大体上“大致相等”，但是大致相等是什么意思呢？

这是一个玩具示例：

library(ggplot2)
n <- 10^3
df <- data.frame(x=runif(n, min=1, max=2))
df$y <- 5 / df$x + rnorm(n)
p <- (ggplot(df, aes(x=x, y=y)) +
      geom_point() +
      geom_smooth(method="lm", formula=y ~ 0 + x) +  # Blue, OP's y hat
      geom_smooth(method="lm", formula=y ~ 0 + I(x^-1), color="red"))  # Red, OP's y tilde
p

图片：

如果允许使用截距（即常数）项，那么“蓝色”模型会做得更好。