随机过程是随时间变化的过程，所以它真的是说“时间序列”的一种更好的方法吗？

由于评论和答案中出现了许多令人不安的差异，因此让我们参考一些权威机构。

詹姆斯·汉密尔顿甚至都没有定义时间序列，但是他很清楚什么是时间序列：

...这组数仅仅是生成数据的基础随机过程的一个可能结果。事实上，即使我们想象在观察过程中的时间无限周期，到达序列{ ÿ 吨} ∞ 吨= ∞ = { ... ，ÿ - 1，ÿ 0，ÿ 1，ÿ 2，... ，ÿ Ť，ÿ Ť + 1，ÿ Ť + 2，$T$所述无限序列 { ý 吨} ∞ 吨= ∞将仍然被看作是从一个时间序列处理的单个实现。...

$$\{y_t\}_{t=\infty}^\infty = \{\ldots, y_{-1}, y_0, y_1, y_2, \ldots, y_T, y_{T+1}, y_{T+2}, \ldots, \},$$ $\{y_t\}_{t=\infty}^\infty$

想象的电池的 ...计算机生成的序列{ ý （1 ）吨 } ∞ 吨= - ∞，{ ÿ （2 ）吨 } ∞ 吨= - ∞，... ，{ ÿ （我）吨 } ∞ 吨= - ∞，并考虑从每个序列中选择与日期t相关的观察值：{ y （1 $I$$\{y_t^{(1)}\}_{t=-\infty}^{\infty},$ $\{y_t^{(2)}\}_{t=-\infty}^{\infty}, \ldots,$ $\{y_t^{(I)}\}_{t=-\infty}^{\infty}$$t$ 这将被描述为随机变量Yt的I实现的样本。...

$$\{y_t^{(1)}, y_t^{(2)}, \ldots, y_t^{(I)}\}.$$ $I$$Y_t$

（时间序列分析，第3章。）

因此，“时间序列过程”是由整数t索引的一组随机变量。$\{Y_t\}$$t$

在随机微分方程中， BerntØksendal提供了一般随机过程的标准数学定义：

定义2.1.4。 甲随机过程是随机变量的参数化集合 上的概率空间中定义（Ω ，˚F，P），并假设值ř Ñ。

$$\{X_t\}_{t\in T}$$ $(\Omega, \mathcal{F}, \mathcal{P})$ $\mathbb{R}^n$

参数空间通常是（如在本书）的halfline [ 0 ，∞ ），但它也可以是一个间隔[ 一，b ]，所述非负整数，并且甚至子集ř ñ为Ñ ≥ 1。$T$$[0,\infty)$$[a,b]$$\mathbb{R}^n$$n\ge 1$

将两者放在一起，我们看到时间序列过程是由整数索引的随机过程。

有些人使用“时间序列”来指代时间序列过程的实现（如Wikipedia文章中所述）。我们可以从汉密尔顿的语言中看到，他通过使用“时间序列过程”来合理地将过程与实现区分开来，因此他可以使用“时间序列”来指代实现（甚至是数据）。

$\left\{X_t\right\}$

定义随机过程

让 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$是一个概率空间。让$S$ 成为另一个可测量的空间（例如实数空间） $\mathbb{R}$）。讲得有些不精确：

• 随机变量是从 $\Omega$ 至 $S$。
• 随机过程是按时间索引的一组随机变量 $t$。
  • 任何时候 $t \in \mathcal{T}$， $X_t$ 是随机变量
  • 对于任何结果 $\omega \in \Omega$， $X(\omega)$ 是随机过程的实现， $X$ 随着时间的推移。

定义时间序列

随机过程具有清晰的数学定义。时间序列的概念不太精确，人们使用时间序列来指代两个相关但不同的对象：

1. 如WHuber所描述的，随机过程由整数或某个规则的增量时间单位索引，从某种意义上说，可以映射到整数（例如每月数据）。
2. 定期观察到的数据集合。这可能是由整数索引的随机过程的实现。有时，这被称为时间序列数据。

示例：大头钉翻转两次

让 $\Omega = \{ \omega_{HH}, \omega_{HT}, \omega_{TH}, \omega_{TT}\}$。让$X_1, X_2$ 分别是翻转1和翻转2的结果。

$$X_1(\omega) = \left\{ \begin{array}{rr} 1: & \omega \in \{ \omega_{HH}, \omega_{HT}\} \\ 0: & \omega \in \{\omega_{TH}, \omega_{TT} \}\end{array} \right.$$

$$X_2(\omega) = \left\{ \begin{array}{rr} 1: & \omega \in \{ \omega_{HH}, \omega_{TH}\} \\ 0: & \omega \in \{\omega_{HT}, \omega_{TT} \}\end{array} \right.$$

So clearly $\{X_1, X_2\}$ is a stochastic process. People may also call it a time series since the indexing is by integers. People may also call the realization of $X$, eg. $X(\omega_{HH}) = (H, H)$, a time series or time series data.

The difference between a stochastic process and a time series is somewhat like the difference between a cat on a keyboard and an answer on Stack Exchange: Cats on keyboards can produce answers, but cats on keyboards are not answers. Furthermore, not every answer is produced by a cat on a keyboard.

A time series can be understood as a collection of time-value–data-point pairs. A stochastic process on the other hand is a mathematical model or a mathematical description of a distribution of time series¹. Some time series are a realisation of stochastic processes (of either kind). Or, from another point of view: I can use a stochastic process as a model to generate a time series.

Furthermore, time series can also be generated in other ways:

• 它们可能是观察的结果，因此是现实产生的。虽然我可以将现实建模为随机过程（我也可以说我将现实视为随机过程），但现实并不是随机过程，就像盒子内部不是一组点一样（尽管我们经常在建模环境中考虑两个等效项）。

• 它们可以通过确定性过程生成。现在，严格来说，我们可以（并且应该应该）定义随机过程和确定性过程，使得后者是前者的特殊情况，但是我们很少使用它，而将确定性过程称为随机过程的特殊情况可能会引起一些混乱-您可以将其与通话进行比较$x=2$ 非线性方程组。

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^{¹如果是离散时间随机过程。连续时间随机过程是功能的分布而不是时间序列。}

我感谢所有有关时间序列与随机过程的讨论/评论。这是我对差异的理解：时间序列是一种观察到的现象，记录为一系列数字，这些数字随观察时的时间索引；它很可能是对现实生活现象的一系列观察，例如纽约证券交易所的股价。另一方面，通常将随机过程理解为时间序列的数学表示形式（而不是生产形式）。