协方差和独立性？

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我从课本中得知不能保证X和Y是独立的。但是，如果它们是独立的，则它们的协方差必须为0。有人可以提供吗？ $\text{cov}(X,Y)=0$

independence covariance

— 飞猪
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您可能还可以快速浏览Anscombe的Quartet，它说明了可以通过双变量数据集实现特定非零协方差的许多不同方式。

— ub

7

需要注意的是协方差的度量是线性的度量。计算协方差是在回答“数据是否形成直线模式？”这一问题。如果数据确实遵循线性模式，则它们是相关的。但是，这只是数据依赖的一种方式。就像问“我鲁re驾驶吗？” 一个问题可能是“您是否以超过时速25英里的速度行驶？” 但这不是鲁drive驾驶的唯一方法。另一个问题可能是“你喝醉了吗？” 等。鲁than驾驶的方法不只一种。

— 亚当

所谓的线性度为关系提供了结构。重要的是，关系可以是非线性的，这很常见。通常，协方差不为零，它是假设的。协方差表明幅度而不是比率，

— Subhash C. Davar

Answers:

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举一个简单的例子：设为一个随机变量，其概率为0.5 或或。然后让是随机可变的，使得如果，和是随机或以概率0.5如果。 $X$ $-1$ $+1$ $Y$ $Y=0$ $X=-1$ $Y$ $-1$ $+1$ $X=1$

显然和是高度相关的（因为知道可以让我完全知道），但是它们的协方差为零：它们的均值为零，并且 $X$ $Y$ $Y$ $X$

\begin{aligned} Ë [X ÿ] & = & （ - 1个 ） & \cdot & 0 & \cdot & P （ X = - 1个 ） \\ + & 1个 & \cdot & 1个 & \cdot & P （ X = 1个 ， ÿ = 1个 ） \\ + & 1个 & \cdot & （ - 1个 ） & \cdot & P （ X = 1个 ， ÿ = - 1个 ） \\ = & 0。 \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{E}[XY] &=&(-1) &\cdot &0 &\cdot &P(X=-1) \\ &+& 1 &\cdot &1 &\cdot &P(X=1,Y=1) \\ &+& 1 &\cdot &(-1)&\cdot &P(X=1,Y=-1) \\ &=&0. }$

或更一般地，采用任何的分布和任何，使得对于所有（即，联合分布是绕轴对称），并且协方差始终为零。但是只要 $P(X)$ $P(Y|X)$ $P(Y=a|X) = P(Y=-a|X)$ $X$ $x$ ; 即，条件不都等于边际。或同上以围绕轴对称。 $P(Y|X) \neq P(Y)$ $y$

— jpillow
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这是我一直给学生的例子。采取随机变量与和，具有零均值例如正态随机变量。取。显然，和是相关的，但是 $X$ $EX=0$ $EX^3=0$ $Y=X^2$ $X$ $Y$

C Ø v （ X ， ÿ ） = Ë X ÿ - Ë X \cdot Ë ÿ = Ë X^{3} = 0。

$cov(X,Y)=EXY-EX\cdot EY=EX^3=0.$

— mpiktas
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我也喜欢那个例子。在特定情况下，N（0,1）rv和chi2（1）rv不相关。

— ocram 2011年

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+1，但作为次要的nitpick，您确实需要分别假设

（它不取决于分布的对称性假设或

），所以我们不t存在诸如

的问题，形式为

。而且我反胃约@ ocram的说法，“ 一个 N（0,1）休旅车和一个 χ2（1）RV是不相关的。” （强调）是，

E [X^{3}] = 0

$E[X^3] = 0$

E [X] = 0

$E[X] = 0$

E [X^{3}]

$E[X^3]$

\infty - \infty

$\infty - \infty$

和

是不相关的，但不是任何

和

随机变量。

X \sim N (0, 1)

$X \sim N(0,1)$

X^{2} \sim χ^{2} (1)

$X^2 \sim \chi^2(1)$

N (0, 1)

$N(0,1)$

χ^{2} (1)

$\chi^2(1)$

— Dilip Sarwate 2012年

@DilipSarwate，谢谢，我已经相应地编辑了答案。当我写这篇文章的时候，我是关于正常变量的，因为零变量是零均值。

— mpiktas

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下图（来源Wikipedia）在第三行上具有多个示例，尤其是第一示例和第四示例具有很强的依存关系，但是相关性为0（协方差为0）。

在此处输入图片说明

— 没了101
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在其他一些示例中，考虑形成圆或椭圆的数据点，协方差为0，但知道x会将y缩小为2个值。或正方形或矩形中的数据。同样，形成X或V或^或<或>的数据都将给出协方差0，但不是独立的。如果y = sin（x）（或cos）并且x覆盖了周期的整数倍，则cov将等于0，但是知道x便知道y或至少| y |。在椭圆中，x，<和>情况。

— 格雷格·雪诺
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1

那个if应该是“如果x覆盖从一个峰或谷开始的周期的整数倍”，或更笼统地说：“如果x覆盖了一个y对称的区间”

— naught101 2012年

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