为什么glmnet岭回归给我的答案与手动计算不同？

我正在使用glmnet计算岭回归估计值。我得到了一些结果，使我对glmnet确实在做我认为做的事情感到怀疑。为了验证这一点，我编写了一个简单的R脚本，在其中比较了Solve和glmnet中进行的岭回归的结果，两者之间的区别非常明显：

n    <- 1000
p.   <-  100
X.   <- matrix(rnorm(n*p,0,1),n,p)
beta <- rnorm(p,0,1)
Y    <- X%*%beta+rnorm(n,0,0.5)

beta1 <- solve(t(X)%*%X+5*diag(p),t(X)%*%Y)
beta2 <- glmnet(X,Y, alpha=0, lambda=10, intercept=FALSE, standardize=FALSE, 
                family="gaussian")$beta@x
beta1-beta2

差异的范数通常约为20，这不可能是由于数值算法不同而引起的，我一定做错了。glmnet为了获得与ridge相同的结果，我必须设置哪些设置？

您观察到的差异是由于GLMNET在其目标函数中使用的观察数N的额外除法，以及通过其样本标准偏差对Y的隐式标准化，如下所示。

$$\frac{1}{2N}\left\|\frac{y}{s_y}-X\beta\right\|^2_{2}+\lambda\|\beta\|^2_{2}/2$$

在这里我们使用代替为， 1 /（ñ - 1 ）小号Ŷ 小号Ŷ = Σ 我（ÿ 我 - ˉ ÿ）$1/n$$1/(n-1)$$s_y$

$$s_y=\frac{\sum_i(y_i-\bar{y})^2}{n}$$

通过对beta进行微分，将等式设置为零，

$$X^TX\beta-\frac{X^Ty}{s_y}+N\lambda\beta =0$$

然后求解beta，我们得到了估算值，

$$\tilde{\beta}_{GLMNET}= (X^TX+N\lambda I_p)^{-1}\frac{X^Ty}{s_y}$$

为了恢复对Y的原始度量的估计（及其相应的惩罚），GLMNET将估计和lambda乘以并将这些结果返回给用户，$s_y$

λùÑ小号吨d。=šÿ

$$\hat{\beta}_{GLMNET}=s_y\tilde{\beta}_{GLMNET}= (X^TX+N\lambda I_p)^{-1}X^Ty$$ $$\lambda_{unstd.}=s_y\lambda$$

将此解决方案与岭回归的标准推导进行比较。

$$\hat{\beta}= (X^TX+\lambda I_p)^{-1}X^Ty$$

请注意，的缩放系数为N。此外，当使用or 函数时，代价将隐式缩放为。就是说，当我们使用这些函数获得某个的系数估计时，我们正在有效地获得估计。1 / 小号ý λ * λ = λ * / 小号$\lambda$predict()coef()$1/s_y$$\lambda^*$$\lambda=\lambda^*/s_y$

基于这些观察，需要将的因数缩放到GLMNET中使用的惩罚。$s_y/N$

set.seed(123)

n    <- 1000
p   <-  100
X   <- matrix(rnorm(n*p,0,1),n,p)
beta <- rnorm(p,0,1)
Y    <- X%*%beta+rnorm(n,0,0.5)

sd_y <- sqrt(var(Y)*(n-1)/n)[1,1]

beta1 <- solve(t(X)%*%X+10*diag(p),t(X)%*%(Y))[,1]

fit_glmnet <- glmnet(X,Y, alpha=0, standardize = F, intercept = FALSE, thresh = 1e-20)
beta2 <- as.vector(coef(fit_glmnet, s = sd_y*10/n, exact = TRUE))[-1]
cbind(beta1[1:10], beta2[1:10])

           [,1]        [,2]
[1,]  0.23793862  0.23793862
[2,]  1.81859695  1.81859695
[3,] -0.06000195 -0.06000195
[4,] -0.04958695 -0.04958695
[5,]  0.41870613  0.41870613
[6,]  1.30244151  1.30244151
[7,]  0.06566168  0.06566168
[8,]  0.44634038  0.44634038
[9,]  0.86477108  0.86477108
[10,] -2.47535340 -2.47535340

结果概括为包含截距和标准化的X变量。我们修改了标准化的X矩阵以包括一列1和对角矩阵，使其在[1,1]位置具有一个附加的零项（即，不对截距进行惩罚）。然后，您可以通过它们各自的样本标准偏差来使估算值标准化（再次确保在计算标准偏差时使用1 / n）。

$$\hat\beta_{j}=\frac{\tilde{\beta_j}}{s_{x_j}}$$

$$\hat\beta_{0}=\tilde{\beta_0}-\bar{x}^T\hat{\beta}$$

mean_x <- colMeans(X)
sd_x <- sqrt(apply(X,2,var)*(n-1)/n)
X_scaled <- matrix(NA, nrow = n, ncol = p)
for(i in 1:p){
    X_scaled[,i] <- (X[,i] - mean_x[i])/sd_x[i] 
}
X_scaled_ones <- cbind(rep(1,n), X_scaled)

beta3 <- solve(t(X_scaled_ones)%*%X_scaled_ones+1000*diag(x = c(0, rep(1,p))),t(X_scaled_ones)%*%(Y))[,1]
beta3 <- c(beta3[1] - crossprod(mean_x,beta3[-1]/sd_x), beta3[-1]/sd_x)

fit_glmnet2 <- glmnet(X,Y, alpha=0, thresh = 1e-20)
beta4 <- as.vector(coef(fit_glmnet2, s = sd_y*1000/n, exact = TRUE))

cbind(beta3[1:10], beta4[1:10])
             [,1]        [,2]
 [1,]  0.24534485  0.24534485
 [2,]  0.17661130  0.17661130
 [3,]  0.86993230  0.86993230
 [4,] -0.12449217 -0.12449217
 [5,] -0.06410361 -0.06410361
 [6,]  0.17568987  0.17568987
 [7,]  0.59773230  0.59773230
 [8,]  0.06594704  0.06594704
 [9,]  0.22860655  0.22860655
[10,]  0.33254206  0.33254206

添加了代码以显示标准X且没有拦截：

set.seed(123)

n <- 1000
p <-  100
X <- matrix(rnorm(n*p,0,1),n,p)
beta <- rnorm(p,0,1)
Y <- X%*%beta+rnorm(n,0,0.5)

sd_y <- sqrt(var(Y)*(n-1)/n)[1,1]

mean_x <- colMeans(X)
sd_x <- sqrt(apply(X,2,var)*(n-1)/n)

X_scaled <- matrix(NA, nrow = n, ncol = p)
for(i in 1:p){
    X_scaled[,i] <- (X[,i] - mean_x[i])/sd_x[i] 
}

beta1 <- solve(t(X_scaled)%*%X_scaled+10*diag(p),t(X_scaled)%*%(Y))[,1]

fit_glmnet <- glmnet(X_scaled,Y, alpha=0, standardize = F, intercept = 
FALSE, thresh = 1e-20)
beta2 <- as.vector(coef(fit_glmnet, s = sd_y*10/n, exact = TRUE))[-1]
cbind(beta1[1:10], beta2[1:10])

             [,1]        [,2]
 [1,]  0.23560948  0.23560948
 [2,]  1.83469846  1.83469846
 [3,] -0.05827086 -0.05827086
 [4,] -0.04927314 -0.04927314
 [5,]  0.41871870  0.41871870
 [6,]  1.28969361  1.28969361
 [7,]  0.06552927  0.06552927
 [8,]  0.44576008  0.44576008
 [9,]  0.90156795  0.90156795
[10,] -2.43163420 -2.43163420

根据https://web.stanford.edu/~hastie/glmnet/glmnet_alpha.html，当家庭gaussian，glmnet()应将

$$\frac{1}{2n} \sum_{i=1}^n (y_i-\beta_0-x_i^T\beta)^2 +\lambda\sum_{j=1}^p(\alpha|\beta_j| +(1-\alpha)\beta_j^2/2). \tag{1}$$

当使用标准化glmnet(x, y, alpha=1)的列来拟合套索时，报告的惩罚的解决方案是最小化 但是，至少在中，当用于拟合岭回归时，所报告的惩罚的解决方案是最小化 其中是的标准偏差。在这里，惩罚应该报告为。$x$$\lambda$

$$\frac{1}{2n} \sum_{i=1}^n (y_i-\beta_0-x_i^T\beta)^2 +\lambda \sum_{j=1}^p |\beta_j|.$$ glmnet_2.0-13glmnet(x, y, alpha=0)$\lambda$ $$\frac{1}{2n} \sum_{i=1}^n (y_i-\beta_0-x_i^T\beta)^2 +\lambda \frac{1}{2s_y} \sum_{j=1}^p \beta_j^2.$$ $s_y$$y$$\lambda/s_y$

可能发生的情况是该函数首先将标准化为，然后最小化 ，实际上是将最小化 或等效地，将最小化 $y$$y_0$

$$\frac{1}{2n} \sum_{i=1}^n (y_{0i}-x_i^T\gamma)^2 +\eta \sum_{j=1}^p(\alpha|\gamma_j| +(1-\alpha)\gamma_j^2/2), \tag{2}$$ $$\frac{1}{2n s_y^2} \sum_{i=1}^n (y_i-\beta_0-x_i^T\beta)^2 +\eta \frac{\alpha}{s_y} \sum_{j=1}^p |\beta_j| +\eta \frac{1-\alpha}{2s_y^2} \sum_{j=1}^p \beta_j^2,$$ $$\frac{1}{2n} \sum_{i=1}^n (y_i-\beta_0-x_i^T\beta)^2 +\eta s_y \alpha \sum_{j=1}^p |\beta_j| +\eta (1-\alpha) \sum_{j=1}^p \beta_j^2/2.$$

对于套索（），将缩小以报告惩罚，因为有意义。然后，对于所有，必须将报告为惩罚，以保持结果的连续性。这可能是导致上述问题的原因。部分原因是使用（2）求解（1）。仅当或，问题（1）和（2）之间才存在某些等价关系（即，（1）中的与（2）中的之间的对应关系）。对于任何其他$\alpha=1$$\eta$$\eta s_y$$\alpha$$\eta s_y$$\alpha$$\alpha=0$$\alpha=1$$\lambda$$\eta$$\alpha\in(0,1)$，问题（1）和（2）是两个不同的优化问题，并且（1）中的和（2）中的没有一对一的对应关系。$\lambda$$\eta$