混合分布的CDF逆采样

上下文外的简短版本

令为CDF $y$

$$F(\cdot) \equiv \cases{\theta & y = 0 \\ \theta + (1-\theta) \times \text{CDF}_{\text{log-normal}}(\cdot; \mu, \sigma) & y > 0}$$

假设我想使用反CDF方法模拟绘制。那可能吗？此函数不完全具有逆函数。然后再次有两个正态分布的混合分布的逆变换采样，这表明这里有一种已知的方法可以应用逆变换采样。$y$

我知道两步法，但是我不知道如何将其应用于我的情况（请参见下文）。

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带背景的长版

我使用MCMC（特别是Stan）为向量值响应拟合了以下模型：$y^i = \left( y_1 , \dots , y_K \right)^i$

$$\theta_k^i \equiv \operatorname{logit}^{-1}\left( \alpha_k x^i \right), \quad \mu_k^i \equiv \beta_k x^i - \frac{ \sigma^2_k }{ 2 } \\ F(\cdot) \equiv \cases{\theta & y = 0 \\ \theta + (1-\theta) \times \text{CDF}_{\text{log-normal}}(\cdot; \mu, \sigma) & y > 0} \\ u_k \equiv F(y_k), \quad z_k \equiv\Phi^{-1}{\left( u_k \right)} \\ z \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, R) \times \prod_k f(y_k) \\ \left( \alpha, \beta, \sigma, R \right) \sim \text{priors}$$

其中索引观测值，是相关矩阵，是预测变量/回归变量/特征的向量。$i$$N$$R$$x$

也就是说，我的模型是一个回归模型，其中响应的条件分布假定为具有零膨胀对数正态边际的高斯copula。我之前已经发布过有关该模型的文章；事实证明，Song，Li和Yuan（2009，gated）开发了它，并将其称为向量GLM或VGLM。以下是他们尽可能接近逐字记录的说明： 我的

$$f(\mathbf{y}; \mathbf{\mu}, \mathbf{\varphi}, \Gamma) = c\{ G_1(y_1), \dots, G_m(y_m) | \Gamma \} \prod_{i=1}^m g(y_i; \mu_i, \varphi_i) \\ c(\mathbf{u} | \Gamma) = \left| \Gamma \right|^{-1/2}\exp\left( \frac{1}{2} \mathbf{q}^T \left( I_m - \Gamma^{-1} \right) \mathbf{q} \right) \\ \mathbf{q} = \left( q_1, \dots, q_m \right)^T, \quad q_i = \Phi^{-1}(u_i)$$ $F_K$对应于他们的，我的对应于他们的，我的对应于他们的；详细信息在第62页（PDF文件的第3页），但与我在此处写的内容完全相同。$G_m$$z$$\mathbf{q}$$R$$\Gamma$

零膨胀部分大致遵循Liu和Chan（2010，unated）的规范。

现在，我想从估计的参数中模拟数据，但是我对如何处理它有些困惑。首先，我以为我可以直接在模拟：$y$

for (i in 1:N) {
    for (k in 1:K) {
        Y_hat <- rbinom(1, 1, 1 - theta[i, k])
        if (Y_hat == 1)
            Y_hat <- rlnorm(1, mu[i, k], sigma[k])
    }
}

不使用可言。我想尝试实际使用我估计的相关矩阵。$R$

我的下一个想法是抽取，然后将其转换回。这似乎也与在Sklar的copula定理中表达的R中的Copula样本和用于分布的双变量样本中的答案相吻合？。但是我的在这里到底是什么？用于两个正态分布的混合分布的逆变换采样听起来似乎可行，但是我不知道该怎么做。$z$$y$$F^{-1}$

有背景的长版本的答案：

长版的答案在某种程度上解决了另一个问题，由于我们似乎在制定模型和问题时遇到困难，因此我希望在这里重新表述，希望正确。

对于 $1\le i\le I$，目标是模拟向量 $y^i=(y^i_1,\ldots,y^i_K)$ 这样，以协变量为条件 $x^i$，

$$y_k^i = \begin{cases} 0 &\text{ with probability }\operatorname{logit}^{-1}\left( \alpha_k x^i \right)\\ \log(\sigma_k z_k^i + \beta_k x^i) &\text{ with probability }1-\operatorname{logit}^{-1}\left( \alpha_k x^i \right)\end{cases}$$ 与 $z^i=(z^i_1,\ldots,z^i_K)\sim\mathcal{N}_K(0,R)$。因此，如果要模拟来自该模型的数据，则可以按以下步骤进行：

对于 $1\le i\le I$，

1. 生成 $z^i=(z^i_1,\ldots,z^i_K)\sim\mathcal{N}_K(0,R)$
2. 生成 $u^i_1,\ldots,u^i_K \stackrel{\text{iid}}{\sim} \mathcal{U}(0,1)$
3. 派生 $y^i_k=\mathbb{I}\left\{u^i_k>\operatorname{logit}^{-1}\left( \alpha_k x^i \right)\right\}\, \log\{ \sigma_k z_k^i + \beta_k x^i\}$ 对于 $1\le k\le K$

如果一个人对后代的产生感兴趣 $(\alpha,\beta,\mu,\sigma,R)$ 鉴于 $y^i_ k$，这是一个难题，尽管可以通过Gibbs采样或ABC来解决。

上下文外简短版本的答案：

如大多数蒙特卡洛教科书中所述，“倒置”在数学上不可逆的cdf（如混合分布）是可行的。（就像我们的一样，请参见引理2.4。）如果定义广义逆

$$F^{-}(u) = \inf\left\{ x\in\mathbb{R};\ F(x)\ge u \right\}$$ 然后 $$X \sim F \text{ is equivalent to } X=F^{-}(U)\text{ when } U\sim\mathcal{U}(0,1)\,.$$ 这意味着，当 $F(y)$ 跳了 $\theta$ 在 $y=0$， $F^{-}(u)=0$ 对于 $u\le\theta$。换句话说，如果你画制服$\mathcal{U}(0,1)$ 最终小于 $\theta$，您这一代 $X$ 是 $x=0$。否则，当$u>\theta$，您最终会从连续部分生成，即您的情况下的对数正态。这意味着使用第二个均匀随机生成，$v$，独立于第一次均匀绘制和设置 $y=\exp(\mu+\sigma\Phi^{-1}(v))$ 获得对数正态生成。

这几乎就是您的R代码

Y_hat <- rbinom(1, 1, theta[i, k]) if (Y_hat == 1) Y_hat <- rlnorm(1, mu[i, k], sigma[k])

是在做。您产生概率的伯努利$\theta_k^i$ 如果等于 $1$，则将其变成对数正态。由于它等于1的概率$\theta_k^i$你应该不是把它变成一个数正态模拟，当它等于为零，随之修正R代码结束了：

Y_hat <- rbinom(1, 1, theta[i, k])
    if (Y_hat == 0)
        Y_hat <- rlnorm(1, mu[i, k], sigma[k])