如何找到事件总数的置信区间

我有检测器，它将以概率p检测事件。如果检测器说发生了事件，则情况总是如此，因此不会出现假阳性。运行一段时间后，我检测到k个事件。我想以一定的可信度（例如95％）计算发生，检测到或以其他方式发生的事件总数。

举例来说，假设我检测到13个事件。我希望能够基于p计算出13到19个事件，置信度为95％。

到目前为止，这是我尝试过的方法：

如果总共有n个事件，则检测到k个事件的概率为：

binomial(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k)

从k到无穷大的n的总和为：

1/p

这意味着总共有n个事件的概率为：

f(n) = binomial(n, k) * p^(k + 1) * (1 - p)^(n - k)

因此，如果我想确保95％的比例，我应该找到f(k) + f(k+1) + f(k+2) ... + f(k+m)至少为0.95 的第一部分和，答案为[k, k+m]。这是正确的方法吗？还有答案的封闭公式吗？

我会选择使用负二项式分布，当成功的恒定概率为p时，它返回在第k_th个成功之前将有X个失败的概率。

使用一个例子

k=17 # number of successes
p=.6 # constant probability of success

失败的平均值和标准差由下式给出

mean.X <- k*(1-p)/p
sd.X <- sqrt(k*(1-p)/p^2) 

失效X的分布将具有近似的形状

plot(dnbinom(0:(mean.X + 3 * sd.X),k,p),type='l')

因此，失败的次数大约为（95％置信度）

qnbinom(.025,k,p)
[1] 4

和

qnbinom(.975,k,p)
[1] 21

因此，您的整数将为[k + qnbinom（.025，k，p），k + qnbinom（.975，k，p）]（使用示例数字[21,38]）

假设您要选择n，p（n）的分布，则可以应用贝叶斯定律。

您知道给定n实际发生的k个事件发生的概率是由二项分布决定的

$p(k|n) = {n \choose k} p^k (1-p)^{(n-k)}$

假设您观察到k，那么您真正想知道的是实际发生n个事件的概率。由贝叶斯奠定：

$p(n|k) = \frac{p(k|n)p(n)}{p(k)}$

通过应用总概率定理，我们可以写：

$p(n|k) = \frac{p(k|n)p(n)}{\sum_{n'} p(k|n')p(n')}$

因此，如果没有进一步的信息，关于的分布就无法进行进一步的研究。$p(n)$

然而，如果要挑选一个分布针对其存在的值大于其中，或非常接近零，那么你可以做一个好一点。例如，假设的分布在范围内是均匀的。这个案例：$p(n)$$n$$p(n) = 0$$n$$[0,n_{max}]$

$p(n) = \frac{1}{n_{max}}$

贝叶斯公式简化为：

$p(n|k) = \frac{p(k|n)}{\sum_{n'} p(k|n')}$

至于问题的最后一部分，我同意最好的方法是对进行累积求和，以生成累积概率分布函数，然后迭代直到达到0.95的极限。$p(n|k)$

鉴于此问题是从SO迁移过来的，因此下面附有python中的玩具示例代码

import numpy.random

p = 0.8
nmax = 200

def factorial(n):
    if n == 0:
        return 1
    return reduce( lambda a,b : a*b, xrange(1,n+1), 1 )

def ncr(n,r):
    return factorial(n) / (factorial(r) * factorial(n-r))

def binomProbability(n, k, p):
    p1 = ncr(n,k)
    p2 = p**k
    p3 = (1-p)**(n-k)
    return p1*p2*p3

def posterior( n, k, p ):
    def p_k_given_n( n, k ):
        return binomProbability(n, k, p)
    def p_n( n ):
        return 1./nmax
    def p_k( k ):
        return sum( [ p_n(nd)*p_k_given_n(nd,k) for nd in range(k,nmax) ] )
    return (p_k_given_n(n,k) * p_n(n)) / p_k(k)


observed_k   = 80
p_n_given_k  = [ posterior( n, observed_k, p ) for n in range(0,nmax) ]
cp_n_given_k = numpy.cumsum(p_n_given_k)
for n in xrange(0,nmax):
    print n, p_n_given_k[n], cp_n_given_k[n]

如果您测量了事件并且知道检测效率为，则可以自动将测量结果校正为“真实”计数。$k$$p$$k_\mathrm{true} = k/p$

然后，您的问题是要找到的范围，其中95％的观测值将落入该范围。您可以使用Feldman-Cousins方法估计此间隔。如果您有权访问ROOT，则有一个类可以为您执行此计算。$k_\mathrm{true}$

您可以使用Feldman-Cousins从未校正的事件计算上限和下限 ，然后使用它们放大到100％。这样，实际的测量次数将确定您的不确定性，而不是某些未测量的定标数字。$k$$1/p$

{
gSystem->Load("libPhysics");

const double lvl = 0.95;
TFeldmanCousins f(lvl);

const double p = 0.95;
const double k = 13;
const double k_true = k/p;

const double k_bg = 0;

const double upper = f.CalculateUperLimit(k, k_bg) / p;
const double lower = f.GetLowerLimit() / p;

std::cout << "["
  lower <<"..."<<
  k_true <<"..."<<
  upper <<
  "]" << std::endl;
}

我认为您误解了置信区间的目的。置信区间使您可以评估参数的真实值所在的位置。因此，根据您的情况，您可以为构造一个置信区间。为数据构造时间间隔没有任何意义。$p$

话虽如此，一旦有了的估计值，就可以使用二项式pdf计算出观察到不同实现（例如14、15等）的概率。$p$