贝叶斯事件研究方法的计量经济学

事件研究在经济学和金融学中很普遍，可以确定事件对股票价格的影响，但是它们几乎总是基于常识性推理。OLS回归-在与事件窗口不同的参考期间内-通常用于确定对资产的正常收益进行建模所需的参数。然后，在从到的指定事件窗口内的事件之后，确定资产上累积的异常收益（）的统计显着性。假设检验用于确定这些收益是否显着并因此确实异常。从而：i T 1 T $\text{CAR}$$i$$T_1$$T_2$

$H_0 : \text{CAR}_i = 0$，其中

$\text{CAR}_i = \sum_{t=T_1}^{T_2} \text{AR}_{i,t} = \sum_{t=T_1}^{T_2} \left( r_{i,t} -\mathbb{E}[r_{i,t}] \right)$和

$\mathbb{E}[r_{i,t}]$是模型预测的资产收益。

如果我们的观察数量足够大，我们可以假定资产收益率分布的渐近正态性，但是对于较小的样本量可能无法验证。

可以说，因此，单企业，单事件的研究（例如在诉讼中要求的）应遵循贝叶斯方法，因为无限多次重复的假设比在这种情况下“更难以验证”多家公司。然而，频频主义者的做法仍然是惯例。

鉴于有关该主题的文献稀少，我的问题是如何使用贝叶斯方法最好地进行事件研究（类似​​于上面概述的方法，并在MacKinlay，1997年进行了总结）。

尽管这个问题是在公司财务实证研究的背景下提出的，但实际上是关于贝叶斯回归和推论的计量经济学，以及常识和贝叶斯方法背后的推理差异。特别：

1. 我应该如何最好地使用贝叶斯方法来估计模型参数（假设对贝叶斯统计量有理论了解，但几乎没有经验）。

2. 一旦计算出累积的异常收益（使用模型的正常收益），如何测试统计显着性？

3. 如何在Matlab中实现呢？

如评论中所述，您要寻找的模型是贝叶斯线性回归。并且由于可以使用BLR计算任何时间t的后验预测分布，因此我们可以用数值评估分布p （CAR | D事件，D ref）。$p(r_t|t, \mathcal{D}_\text{ref})$$t$$p(\text{CAR}|\mathcal{D}_\text{event}, \mathcal{D}_\text{ref})$

问题是，我不认为您真正想要的是通过进行分配。直接的问题是p （CAR = 0 | D event，D ref）的概率为零。潜在的问题是“假设检验的贝叶斯版本”通过贝叶斯因子比较模型，但这需要您定义两个相互竞争的模型。而不是模型（或至少，他们没有一些非常不自然数杂耍型号）。$\text{CAR}$$p(\text{CAR} = 0|\mathcal{D}_\text{event}, \mathcal{D}_\text{ref})$$\text{CAR} = 0, \text{CAR} \neq 0$

从您在评论中所说的，我认为您真正想回答的是

是和d活动更好地同型号或由不同的人解释？$\mathcal{D}_\text{ref}$$\mathcal{D}_\text{event}$

它有一个简洁的贝叶斯答案：定义两个模型

• ： D ref，D事件中的所有数据均来自同一BLR。要计算此模型的边际可能性 p （D ref，D event | M 0），您需要计算BLR拟合所有数据的边际可能性。$M_0$$\mathcal{D}_\text{ref}, \mathcal{D}_\text{event}$$p(\mathcal{D}_\text{ref}, \mathcal{D}_\text{event}|M_0)$

• ： D ref和 D事件中的数据来自两个不同的BLR。要计算此模型的边际似然 p （D ref，D event | M 1），您可以将BLR独立地拟合到 D ref和 D event（尽管使用相同的超参数！），然后取两个BLR边际的乘积可能性。$M_1$$\mathcal{D}_\text{ref}$$\mathcal{D}_\text{event}$$p(\mathcal{D}_\text{ref}, \mathcal{D}_\text{event}|M_1)$$\mathcal{D}_\text{ref}$$\mathcal{D}_\text{event}$

完成后，您可以计算贝叶斯因子

$$\frac{p(\mathcal{D}_\text{ref}, \mathcal{D}_\text{event}|M_1)}{p(\mathcal{D}_\text{ref}, \mathcal{D}_\text{event}|M_0)}$$

决定哪种模式更可信。

您不能与一家公司进行事件研究。

不幸的是，您需要任何事件研究的面板数据。事件研究侧重于事件前后各个时间段的收益。在事件发生之前和之后的每个时间段中，如果没有多个确定的观察结果，就无法将噪声（确定的特定变化）与事件的影响区分开。正如StasK指出的那样，即使只有少数几家公司，噪音仍将主导事件。

话虽如此，通过许多公司的小组，您仍然可以进行贝叶斯工作。

如何估算正常和异常收益

我将假设您用于正常收益的模型看起来像是标准套利模型。如果不是这样，您应该能够适应本讨论的其余部分。您需要使用一系列相对于公告日期的虚拟变量来增强“正常”回归回归：$S$

$$r_{it}=\alpha_{i}+\gamma_{t-S}+r_{m,t}^T\beta_i+e_{it}$$

编辑：这应该是仅包含如果小号> 0。这个问题用这种方法的一个问题是，β 我会通过数据前和事后告知。这并不能精确地映射到传统事件研究，在传统事件研究中，仅在事件发生之前才计算预期收益。$\gamma_{s}$$s>0$$\beta_i$

通过这种回归，您可以讨论类似于我们通常看到的CAR系列的事情，在该系列中，我们可以得出事件前后的平均异常收益图，其中可能包含一些标准误差：

（无耻地摘自维基百科）

您将需要为（可能是正态分布）提出一个分布和误差结构，并带有一些方差-协方差结构。然后，可以建立用于先验分布α 我，β 我和γ 小号和如上提到运行贝叶斯线性回归。$e_{it}$$\alpha_{i}$$\beta_i$$\gamma_s$

检查公告效果

自公告之日起就有理由认为可能会有一些异常收益率（）。新信息刚刚发布到市场上，因此反应通常不违反任何套利或效率定理。您和我都不知道可能会产生什么公告影响。也不总是有很多理论指导。因此测试γ 0 = 0，可能需要更具体的知识，比我们在我们的处置（见下文）。$\gamma_0\neq 0$$\gamma_0=0$

$\gamma_0$

$\gamma_0\geq 0$$\gamma_0$$\gamma_0$$\gamma_0$

但是，对于公告前后的日期，严格的假设检验可能会发挥重要作用，因为这些回报可以看作是对表单效率的强而半强的检验

测试违反半强形式的效率

$\gamma_{s> 0}=0$

$\gamma_{s}=0$$\bar x$$f$$X=\{x_i\}_{i=1}^n$ $\$60,000$ 您将使用贝叶斯因子：

$$P(\bar{x}=\$60,000|X)=\dfrac{\int_{\bar{x}=\$60,000} P(X) f(\bar{x})}{\int_{\bar{x}\neq \$60,000} P(X) f(\bar{x})}$$

$P(\bar{x}=\$60,000|X)=0$

$\gamma_{s> 0}=0$$\gamma_{s>0}$$\gamma_{s>0} =0$$p$$\gamma_{s\neq 0} =0$$1-p$$\gamma_{s>0}$$f$

$$P(\gamma_{s> 0} =0|\text{data}) = \dfrac{P(\text{data}|\gamma_{s> 0}=0)p}{\int_{\gamma_{s> 0}\neq 0} P(\text{data}|\gamma_{s> 0})(1-p)f(\gamma_{s> 0})}>0$$

$\gamma_{s>0}=0$

$\gamma_{s> 0}$$\gamma_{s=0}$$\gamma_{s>0}$$\gamma_s=0$）与实际回报进行比较，以此作为贝叶斯方法和常客方法之间的桥梁。

累积异常收益

到目前为止，所有事情都在讨论异常收益。因此，我将快速进入CAR：

$$\text{CAR}_\tau=\sum_{t=0}^\tau \gamma_{t}$$

$\gamma_0=0$$\text{CAR}_{t>0}=0$

如何在Matlab中实现

对于这些模型的简单版本，您只需要常规的旧贝叶斯线性回归即可。我不使用Matlab，但看起来这里有一个版本。这可能仅适用于共轭先验。

对于更复杂的版本，例如尖锐的假设检验，您可能需要Gibbs采样器。我不知道任何适用于Matlab的现成解决方案。您可以检查JAGS或BUGS的接口。