为什么因变量中的测量误差不会使结果偏倚？

当自变量存在测量误差时，我知道结果将偏向于0。当因变量测量有误差时，他们说这只会影响标准误差，但这对我来说没有多大意义，因为我们估计的影响不是对原始变量的影响，而是对其他一些加上误差的影响。那么这如何不影响估计呢？在这种情况下，我还可以使用工具变量来消除此问题吗？$X$$Y$$Y$

当你想估计是一个简单的模型

$$Y_i = \alpha + \beta X_i + \epsilon_i$$ 的真实，而是$Y_i$你只用一些错误观察它$\widetilde{Y}_i = Y_i + \nu_i$是这样的，这是不相关与$X$和$\epsilon$，如果你退步 $$\widetilde{Y}_i = \alpha + \beta X_i + \epsilon_i$$ 的估计$\beta$是 β 因为一个随机变量和一个恒定（之间的协方差α）是零以及之间的协方差X我和ε我，ν我因为我们假设它们是不相关的。 $$\begin{align} \widehat{\beta} &= \frac{Cov(\widetilde{Y}_i,X_i)}{Var(X_i)} \newline &= \frac{Cov(Y_i + \nu_i,X_i)}{Var(X_i)} \newline &= \frac{Cov(\alpha + \beta X_i + \epsilon_i + \nu_i,X_i)}{Var(X_i)} \newline &= \frac{Cov(\alpha ,X_i)}{Var(X_i)} + \beta\frac{Cov(X_i,X_i)}{Var(X_i)} + \frac{Cov(\epsilon_i,X_i)}{Var(X_i)} + \frac{Cov(\nu_i,X_i)}{Var(X_i)} \newline &= \beta \frac{Var(X_i)}{Var(X_i)} \newline &= \beta \end{align}$$ $\alpha$$X_i$$\epsilon_i, \nu_i$

因此，您会看到您的系数是一致估计的。唯一担心的是给你在降低您的统计检验度数误差的附加项。在因变量中出现此类测量错误的非常糟糕的情况下，即使实际上可能存在影响，您也可能找不到明显的影响。通常，工具变量在这种情况下不会为您提供帮助，因为它们比OLS更加不精确，并且只能帮助解释变量中的测量误差。$\widetilde{Y}_i = Y_i + \nu_i = \alpha + \beta X_i + \epsilon_i + \nu_i$

回归分析回答了以下问题：“给定X值的人的平均Y值是多少？” 或等效地，“如果我们将X改变一个单位，则Y预测将平均改变多少？” 随机测量误差不会改变变量的平均值或个体子集的平均值，因此因变量中的随机误差不会使回归估计值产生偏差。

假设您有个人样本的身高数据。这些高度被非常精确地测量，准确地反映了每个人的真实身材。在样本中，男性的平均值为175厘米，女性的平均值为162厘米。如果使用回归来计算性别对身高的预测程度，则可以估算模型

$\mathit{HEIGHT = CONSTANT + β * GENDER + RESIDUAL}$

$\mathit{CONSTANT}$$\mathit{β}$$\mathit{GENDER}$$\mathit{β}$$\mathit{GENDER}$$\mathit{GENDER}$$\mathit{β}$$\mathit{RESIDUAL}$

$\mathit{β}$$\mathit{β}$

$\mathit{β}$$\mathit{GENDER}$$\mathit{β}$

$\mathit{GENDER}$$\mathit{β}$