如何找到因变量之和的平均值？

我知道自变量总和的均值就是每个自变量的均值之和。这也适用于因变量吗？

期望（取平均值）是线性算子。

这意味着，除其他外，对于任意两个随机变量和（存在期望，），无论它们是否独立。$\mathbb{E}(X + Y) = \mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(Y)$$X$$Y$

我们可以推广（例如通过归纳法），使得这样只要每个期望存在。$\mathbb{E}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n \mathbb{E}(X_i)$$\mathbb{E}(X_i)$

因此，是的，即使变量是相关的，总和的平均值也要与总和相同。但是请注意，这不适用于差异！因此，对于自变量甚至是相关但不相关的变量，，通用公式为其中是变量的协方差。$\mathrm{Var}(X + Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y)$V a r（X + Y ）= V a r（X ）+ V a r（Y ）+ 2 C o v（X ，Y ）C o v$\mathrm{Var}(X + Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y) + 2\mathrm{Cov}(X, Y)$$\mathrm{Cov}$

TL; DR：
假设存在，平均值是一个期望值，并且期望值是一个积分，并且积分具有关于和的线性特性。

TS; DR：
由于我们正在处理随机变量的总和，即其中许多函数的函数，所以总和的均值是关于它们的联合分布的（我们假设所有均值都存在并且是有限的）表示为 rv的多元向量，它们的联合密度可以写为及其联合支持 times_ 使用不拘一格的统计学家定律， 我们得到了多个整数$Y_n = \sum_{i=1}^n X_i$$E(Y_n)$$\mathbf X$$n$$f_{\mathbf X}(\mathbf x)= f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)$$D = S_{X_1} \times ...\times S_{X_n}$

$$E[Y_n] = \int_D Y_nf_{\mathbf X}(\mathbf x)d\mathbf x$$ 。

在某些规则性条件下，我们可以将多重积分分解为迭代积分：$n$

$$E[Y_n] = \int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}\Big[\sum_{i=1}^n X_i\Big]f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n$$

并利用积分的线性我们可以分解成

$$= \int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n \; + ...\\ ...+\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_nf_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n$$

对于每个迭代积分，我们可以重新排列积分的顺序，以便在每个积分中，外部积分是相对于关节密度之外的变量而言的。即$n$

$$\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n = \\\int_{S_{X_1}}x_1\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_2}}f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_2...dx_ndx_1$$

和一般

$$\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_j}}...\int_{S_{X_1}}x_jf_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_j...dx_n =$$ $$=\int_{S_{X_j}}x_j\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_{j-1}}}\int_{S_{X_{j+1}}}...\int_{S_{X_1}}f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_{j-1}dx_{j+1}......dx_ndx_j$$

当我们在每个迭代积分中（从内部开始）逐一计算积分时，我们“积分”出一个变量，并在每一步中获得其他变量的“联合边际”分布。因此，每个迭代积分都将以。$n$$n$$\int_{S_{X_j}}x_jf_{X_j}(x_j)dx_j$

总而言之，我们到达

$$E[Y_n ] = E[\sum_{i=1}^n X_i] = \int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1}(x_1)dx_1 +...+\int_{S_{X_n}}x_nf_{X_n}(x_n)dx_n$$

但是现在每个简单积分分别是每个随机变量的期望值，因此

= n ∑ i = 1 E （X i

$$E[\sum_{i=1}^n X_i] = E(X_1) + ...+E(X_n)$$ $$= \sum_{i=1}^nE(X_i)$$

请注意，我们从未调用所涉及的随机变量的独立性或非独立性，但是我们仅处理它们的联合分布。