R平方的有趣推导

多年前，我通过试验数据和转换发现了这种身份。在向我的统计教授解释了这一点之后，他进入下一堂课，使用了矢量和矩阵符号作为一页证明。不幸的是我丢了他给我的纸。（那是在2007年）

有人能够重建证明吗？

让 $(x_i,y_i)$ 是您的原始数据点。通过旋转角度定义一组新的数据点；称这些点。 $\theta$ $(x'_i,y'_i)$

原始点集的R平方值等于导数相对于新点集每个坐标的标准偏差自然对数的的负乘积，每个点在求 $\theta$ $\theta=0$

$r^2= - \left(\left.\frac{d}{d\theta}\ln(\sigma_{x'})\right|_{\theta=0} \right) \left(\left.\frac{d}{d\theta}\ln(\sigma_{y'})\right|_{\theta=0} \right)$

regression r-squared

— sheppa28
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派生不是符号操纵的特别有趣的练习。以来，

\begin{aligned} {\frac{d X^{'}}{d θ} |}_{θ = 0} & = - ÿ ， \\ {\frac{d ÿ^{'}}{d θ} |}_{θ = 0} & = X ， \end{aligned}

$\begin{align} \left.\frac{dx'}{d\theta}\right|_{\theta=0}&=-y,\\ \left.\frac{dy'}{d\theta}\right|_{\theta=0}&=x, \end{align}$ 和

s_{x}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}

$s_x^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$

{\frac{d s_{X^{'}}^{2}}{d θ} |}_{θ = 0} = - 2 s_{X ÿ}

$\left.\frac{ds_{x'}^2}{d\theta}\right|_{\theta=0}=-2s_{xy}$

{\frac{d s_{ÿ^{'}}^{2}}{d θ} |}_{θ = 0} = 2 s_{X ÿ}

$\left.\frac{ds_{y'}^2}{d\theta}\right|_{\theta=0}=2s_{xy}$

{\frac{d}{d θ} \ln （ s_{X^{'}} ） |}_{θ = 0} = - \frac{s_{X ÿ}}{s_{X}^{2}} ， {\frac{d}{d θ} \ln （ s_{ÿ^{'}} ） |}_{θ = 0} = \frac{s_{X ÿ}}{s_{ÿ}^{2}}

$\left.\frac{d}{d\theta}\ln(s_{x'})\right|_{\theta=0} = -\frac{s_{xy}}{s_x^2},\quad \left.\frac{d}{d\theta}\ln(s_{y'})\right|_{\theta=0} = \frac{s_{xy}}{s_y^2}$ 结果如下。

我很想知道您是如何提出这样的方程式的，尤其是什么特定的实验揭示了这样的身份。

— 卡沙阿
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谢谢！实际上，这比他记得的证明要简单得多。身份是几年前通过玩数据而产生的。对于踢球，我只是做旋转，标准偏差，导数，对数，加法，乘积等操作。我让原始的r ^ 2是一条水平线，并绘制了作为theta函数创建的任何函数的图形。有时他们越过，但角度有些奇怪。有时从来没有越过。然后他们以某种方式越过theta =零。认为那很有趣。使用其他随机数据对其进行了测试，并且仍然保留。我没有看到它是如何工作的，但想到了简洁的身份。

— sheppa28