建立比率与百分比的线性模型？

假设我想建立一个模型来预测某种比率或百分比。例如，假设我要预测参加聚会的男孩与女孩的数量，并且我可以在模型中使用的聚会功能包括诸如聚会广告的数量，场地的大小，是否有将是聚会上的任何酒类，等等。（这只是一个虚构的示例；功能并不是很重要。）

我的问题是：预测比率与百分比之间有什么区别，并且根据选择的模型，我的模型如何变化？这个比那个好吗？其他功能是否比其中任何一个更好？（我并不真正在乎比率与百分比的具体数字；我只想能够确定哪些政党更有可能是“男孩政党”还是“女孩政党”。）例如，我思维：

• 如果我要预测百分比（例如，# boys / (# boys + # girls)则为0，则由于我的依存特征被限制在1与1之间，我可能应该使用逻辑回归而不是线性回归）。
• 如果我想预测比率（例如，# boys / # girls或# boys / (1 + # girls)避免除以零的误差），那么我的从属特征为正，那么在使用线性回归之前，我是否应该应用某种（log？）变换？（或其他一些模型？对于正的非计数数据使用哪种回归模型？）
• 通常最好预测（说）百分比而不是比率，如果是，为什么？

我之前从未见过比率的回归模型，但是百分比（或更常见的是分数）的回归很普遍。原因可能是很容易用分数或概率来写下可能性（给定参数的数据的概率）：每个元素的概率都属于类别（相对于）。的估计是则所估计的分数。$p$$A$$B$$p$

但是请注意：为分数建立线性模型不是标准的；更常见的是广义线性模型，它是线性模型以及可逆的非线性“链接”函数，该函数控制所需模型的范围（此处为）。$[0,1]$

分数的最常见模型是（如您所述）逻辑回归，它允许您在实际直线上使用回归变量，但分数被约束为以[0,1]为准。但是，逻辑回归在技术上是二进制数据的模型，这意味着您观察到一系列事件，其中每个输入（一组独立变量）产生的独立观察值为或。对于仅将人口分为两个不同类别的情况（即，对于人口的每个成员您没有单独的回归变量），您可能需要二项式回归。 $0$$1$

话虽这么说，您可能没有什么可以阻止您写下比率的广义线性模型（GLM）的。（逻辑回归和二项式回归也是GLM）。您需要选择一个从输入空间到可能比率空间（例如）的函数映射，然后根据得出的比率写下您的可能性。$\log$

呼应第一个答案。不必费心进行转换-只需对计数进行建模并直接进行协变量。

如果您这样做并且将二项式（或等效逻辑对数）回归模型拟合到男孩女孩数，则将为您选择，如果为此类模型选择常规链接函数，则隐含地已经在拟合男孩与女孩的（协变量平滑对数）比率。那就是线性预测器。

直接建模计数而不是比例或比率的主要原因是您不会丢失信息。凭直觉，如果看到100个男孩和100个女孩，则对观察到的比率1（男孩对女孩）的信心要比对2和2更大。因此，如果您有协变量，则将有更多有关其影响的信息以及可能更好的预测模型。