使用Engle–Granger两步法测试两个时间序列之间的协整

我正在尝试测试两个时间序列之间的协整关系。这两个系列的每周数据跨度约为3年。

我正在尝试做Engle-Granger两步法。我的操作顺序如下。

1. 通过增强Dickey-Fuller测试每个时间序列的单位根。
2. 假设两者都有单位根，则通过OLS找到关系的线性近似。然后创建一系列残差。
3. 通过增强Dickey-Fuller测试单位根的残差。
4. 根据3的结果得出（或不）协整。

问题：

1. 这种方法看起来还好吗？（我是一名本科生，我希望以一种合法的方式来分析我的数据，而不必以最严格的已知方法来对其进行分析。）
2. 如果在第1步中一个序列不能用ADF拒绝零假设（因此没有单位根），是否可以合理地得出结论，因为一个数据集是非平稳的，所以两个序列未进行协整？我不这么认为，但我想确定。
3. 两个数据集看起来都是“随机的”，所以我想知道使用OLS来测量关系以获得残差是否合适。

首先考虑两个时间序列和，它们都是，即两个序列都包含单位根。如果这两个系列是协整的，则将存在系数和这样： X 2 吨予（1 ） μ β $x_{1t}$$x_{2t}$$I\left(1\right)$$\mu$$\beta_{2}$$\\$

$x_{1t}=\mu+\beta_{2}x_{2t}+u_{t}\quad\left(1\right)$ $\\$

将定义一个平衡。为了使用Engle-Granger两步法测试协整，我们将

$\\$ 1）测试序列和的单位根。如果两者均为则继续执行步骤2）。 x 2 吨 I（1 $x{}_{1t}$$x_{2t}$$I\left(1\right)$

$\\$ 2）运行上面定义的回归方程式并保存残差。我定义了一个新的“纠错”术语。$\hat{u}_{t}=\hat{ecm}_{t}$

$\\$ 3）测试单位根的残差（）。请注意，该检验与无协整检验相同，因为在原假设下，残差不是固定的。但是，如果存在协整，则残差应该是固定的。请记住，基于残差的ADF检验的分布与通常的DF分布不同，并且将取决于上述静态回归中估计参数的数量，因为静态回归中的变量会将DF分布转移到剩下。具有常数和趋势的静态回归中一个估计参数的5％临界值分别为-3.34和-3.78。 $\hat{ecm}_{t}$$\\$

4）如果您拒绝残差中的单位根的零点（无协整的零点），则您不能拒绝两个变量进行协整。 $\\$

5）如果您想建立一个纠错模型并研究这两个系列之间的长期关系，我建议您宁愿设置ADL或ECM模型，因为Engle- Granger静态回归，由于分布取决于未知参数，因此我们无法对静态回归中的估计参数的重要性进行任何说明。要回答您的问题：1）如上所示，您的方法是正确的。我只想指出，基于残差的测试关键值与通常的ADF测试关键值不同。 $\\$

$\\$

（2）如果系列之一是固定的，即，而另一个是它们不能协整，因为协整意味着它们共享共同的随机趋势，并且线性它们之间的关系是固定的，因为随机趋势将抵消，从而产生固定的关系。要查看此考虑两个等式： 我（1 $I\left(0\right)$$I\left(1\right)$$\\$

$x_{1t}=\mu+\beta_{2}x_{2t}+\varepsilon_{1t}\quad\left(2\right)$

$\Delta x_{2t}=\varepsilon_{2t}\quad\left(3\right)$

注意，，，，$\varepsilon_{2t}\sim i.i.d.$$x_{1t}\sim I\left(1\right)$$x_{2t}\sim I\left(1\right)$$u_{t}=\beta\prime x_{t}\sim I\left(0\right)$$\varepsilon_{1t}\sim i.i.d.$

$\\$

首先我们求解方程并得到 $\left(3\right)$$\\$

$x_{2t}=x_{0}+\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}$ $\\$

将此解决方案插入方程即可得到： $\left(2\right)$$\\$

$x_{1t} =\mu+\beta_{2}\left\{ x_{0}+\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}\right\} +\varepsilon_{1t} x_{1t} =\mu+\beta_{2}x_{0}+\beta_{2}\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}+\varepsilon_{1t}$ $\\$

我们在两个系列中看到了共同的随机趋势。然后，我们可以定义一个协整向量这样： $\beta=\left(1\;-\beta_{2}\right)\prime$$\\$

$u_{t}=\beta\prime x_{t}=\left(1\;-\beta_{2}\right)\left(\begin{array}{c} \mu+\beta_{2}x_{0}+\beta_{2}\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}+\varepsilon_{1t}\\ x_{0}+\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i} \end{array}\right)$

$\\$

$u_{t}=\beta\prime x_{t}=\mu+\beta_{2}x_{0}+\beta_{2}\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}+\varepsilon_{1t}-\beta_{2} x_{0}-\beta_{2}\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}$

$\\$

$u_{t}=\beta\prime x_{t}=\mu+\varepsilon_{1t}$

我们看到，通过定义正确的协整向量，两个随机趋势会抵消，并且它们之间的关系是固定的（）。如果为则通过定义协整关系不会删除的随机趋势。所以是的，您需要两个系列都为！ X 1 吨我（0 ）X 2 吨予（1 $u_{t}=\beta\prime x_{t}\sim I\left(0\right)$$x_{1t}$$I\left(0\right)$$x_{2t}$$I\left(1\right)$$\\$

$\\$

（3）最后一个问题。是，因为可以证明静态回归的OLS估计量（等式）将是超一致的（方差在收敛为零），所以OLS在两个随机序列上均有效。）当两个系列均为以及它们协整时。因此，如果您发现协整并且您的序列为您的估计将是超级一致的。如果找不到协整，则静态回归将不一致。有关进一步的阅读，请参阅Engle和Granger于1987年发表的开创性论文，《协整，纠错：表示，估计和测试》。T - 2 I （1 ） I （1 $\left(1\right)$$T^{-2}$$I\left(1\right)$$I\left(1\right)$