固有的空间平稳性：它仅适用于小滞后吗？

根据固有平稳性的定义：

$E[Z(x)-Z(x-h)] = 0$

例如，该假设用于普通克里金法，而不是假设整个空间的均值是恒定的，而是假设均值在局部是恒定的。

如果该平均值在附近是恒定的，则逻辑上我们期望彼此接近的两个度量之间的差异为零。但是随着均值随空间的变化而变化，我们不期望彼此相距遥远的值之差为零吗？

因此，固有平稳性的假设不应该是：

$E[Z(x)-Z(x-h)] = 0$对于$h \to 0$

是的，没有。

是

我记得安德烈·乔纳尔（Andre Journel）很早以前就强调了以下几点：

• 平稳性假设是分析人员针对使用哪种模型做出的决策。它们不是现象的固有属性。

• 这样的假设对偏离是有根据的，因为克里金法（至少在20年前已经实行）几乎总是基于在移动搜索邻域内选择附近数据而进行的局部估计。

这些观点通过暗示实际上内在平稳性只需要在一个典型的搜索邻域内，然后仅在一个近似的搜索邻域内，就支持了固有平稳性纯粹是一种本地属性的印象。

没有

但是，在数学上确实确实是这样的情况：不管距离多少，预期差异都必须完全为零。实际上，如果您仅假设期望的差异在滞后是连续的，那么您根本就不会做任何假设！这个较弱的假设将等于断言期望中没有结构性中断（这甚至不意味着在过程实现中缺少结构性中断），但是否则就不能被用来构建克里金方程式甚至估计变异函数。$|h|$$h$

要了解平均连续性的假设可能有多弱（几乎没有用），请考虑实线上的过程$Z$

$$Z(x) = U\text{ if } x \lt 0;\ Z(x) = -U\text{ otherwise }$$

其中具有标准正态分布。一个实现的图形将由高度为的半线（代表负和高度为另一半线（代表正。ü X - ü $U$$u$$x$$-u$$x$

对于任何和，$x$$h$

$$E(Z(x)-Z(x-h)) = E(Z(x)) - E(Z(x-h)) = E(\pm U) - E(\pm U) = 0 - 0 = 0$$

但几乎可以肯定地是，这表明该过程的几乎所有实现在处都是不连续的，即使该过程的平均值在任何地方都是连续的。$U\ne -U$$0$

解释

Diggle和Ribeiro讨论了这个问题[p。66]。他们谈论的是内在随机函数，假定增量是平稳的（而不仅仅是弱平稳的）：$Z(x)-Z(x-h)$

与固定随机函数相比，内在随机函数包含的模型类别更广泛。关于空间预测，从固有模型和静态模型获得的预测之间的主要区别在于，如果使用固有模型，则在点的预测会受到数据局部行为的影响；即，通过在相对接近位置处观察到的测量$x$$x$，而固定模型的预测也会受到整体行为的影响。理解这一点的一种方法是记住内在过程的含义是不确定的。结果，从假定的内在模型得出的预测倾向于围绕局部平均值波动。相反，在数据稀疏的区域中，从假定的平稳模型得出的预测趋向于恢复为假定的模型的全局平均值。这两种行为中哪一种更为自然，取决于使用模型的科学环境。

评论

相反，如果您想控制流程的局部行为，则应该假设增量的第二个时刻。例如，当此接近作为，该方法是均方连续。 当存在一个过程用于哪些0 ħ → 0 ž $E([Z(x)-Z(x-h)]^{2})$$0$$h\to 0$$Z^\prime$

$$E([Z(x)-Z(x-h) - h Z^\prime(x)]^{2}) = O(h^2)$$

对于所有，该过程是均方可微的（具有导数）。Z $x$$Z^\prime$

参考文献

Peter J. Diggle和Paulo J.Ribeiro Jr.，基于模型的地统计学。施普林格（2007）