足够或不足

考虑一个随机样本 $\{X_1,X_2,X_3\}$ 哪里 $X_i$ 是我 $Bernoulli(p)$ 随机变量 $p\in(0,1)$。检查是否 $T(X)=X_1+2X_2+X_3$ 是足够的统计 $p$。

首先，我们如何找到 $(X_1+2X_2+X_3)$？还是应该分解为$X_1+X_2+X_2+X_3$ 然后这将跟随 $Bin(4,p)$？我认为不是因为要注意所有变量在这里不是独立的。

或者，如果我只考虑因式的联合pmf而采用因式分解条件 $(X_1,X_2,X_3)$ 然后 $f(X_1,X_2,X_3)=p^{x_1+x_2+x_3}(1-p)^{3-(x_1+x_2+x_3)}=[p^{t(x)}(1-p)^{3-t(x)}]p^{-x_2}(1-p)^{x_2}$ 哪里 $t(x)=x_1+2x_2+x_3$。

这表明 $T$ 还不够。

但是，如果我想遵循定义并想应用该怎么办 $\dfrac{f(X|p)}{g(T(X)|p)}$ 检查此比率是否独立于 $p$？那我需要知道$g$。那是什么$T(X)=X_1+2X_2+X_3$？

我与“ whuber”进行了讨论，也许我得到了（正确的）提示来查看任何样本点：评估 $\dfrac{P(X=x)}{P(T(X)=T(x))}$ 在那个采样点 $x$ 在这种情况下，请检查此比率是否与参数无关 $p$。

所以拿 $x=(1,0,1)$ 然后 $T(1,0,1)=2$。所以我们评估$\dfrac{P(X=(1,0,1))}{P(T(X)=2)}$。现在，

$$T(X)=2 \text{ iff } X\in\{(1,0,1),(0,1,0)\}.$$ 由于iid属性， $$P(X=(1,0,1))=p^2(1-p)\text{ and }P(X=(0,1,0))=p(1-p)^2.$$ 也 $$P(T(X)=2)=P(X=(1,0,1))+P(X=(0,1,0))=p(1-p).$$

因此

$$\dfrac{P(X=(1,0,1))}{P(T(X)=2)}=\dfrac{p^2(1-p)}{p(1-p)}=p$$ 这显然取决于 $p$，因此 $T$ 还不够统计。