生成具有预定稀疏模式的对称正定矩阵

我正在尝试生成相关矩阵 $p\times p$（对称psd）具有预先指定的稀疏结构（由节点上的图形指定）。图中连接的节点具有相关性，其余全部为0，对角线全部为1。$p$$\rho \sim U(0,1)$

我曾尝试多次生成此矩阵，但很少能获得有效的相关矩阵。

有什么方法可以确保相关矩阵whp吗？请注意，我只能具有正相关，因此等不是一个选择。$\rho \sim U(-1,1)$

任何帮助是极大的赞赏！

关闭，但@Rodrigo de Azevedo没有雪茄。

解决方案是使用半定编程来找到最大值， $\rho_{max}$，以及最小值（取决于非负数）， $\rho_{min}$，共 $\rho$这样，具有规定的稀疏模式的相关矩阵为正半定（psd）。的所有值$\rho$ 这样 $\rho_{max}\le \rho \le \rho_{max}$，将产生psd矩阵（供读者练习）

因此，您必须选择 $\rho$ 只能接受值 $[\rho_{max},\rho_{max}]$，否则您必须使用接受/拒绝并拒绝生成的任何值 $\rho$ 不会产生psd矩阵。

在MATLAB下使用YALMIP的4 x 4矩阵示例

sdpvar rho % declare rho to be a scalar variable
% find maximum value of rho (by minimizing -rho) subject to prescribed matrix being psd.
optimize([1 0 rho 0;0 1 rho 0;rho rho 1 rho;0 0 rho 1] >= 0,-rho) 
% find minimum value of rho subject to prescribed matrix being psd and rho being >= 0.
optimize([[1 0 rho 0;0 1 rho 0;rho rho 1 rho;0 0 rho 1] >= 0,rho >= 0],rho) 

结果：最大rho = 0.57735，最小rho =0。很显然，如果rho为非负值且指定矩阵为psd，则rho的最小值为0，而与维数或稀疏度模式无关。因此，没有必要运行半定优化来找到最小的非负值。$\rho$。

相关矩阵是对称的，正半定的，并且具有 $1$在其主要对角线上。可以找到一个$n \times n$通过求解以下半确定程序（SDP）来建立相关矩阵，其中目标函数是任意的，例如零函数

$$\begin{array}{ll} \text{minimize} & \mathrm \langle \mathrm O_n, \mathrm X \rangle\\ \text{subject to} & x_{11} = x_{22} = \cdots = x_{nn} = 1\\ & \mathrm X \succeq \mathrm O_n\end{array}$$

如果还有其他约束，例如稀疏约束

$$x_{ij} = 0 \text{ for all } (i,j) \in \mathcal Z \subset [n] \times [n]$$

和非负约束， $\mathrm X \geq \mathrm O_n$，然后解决以下SDP

$$\begin{array}{ll} \text{minimize} & \mathrm \langle \mathrm O_n, \mathrm X \rangle\\ \text{subject to} & x_{11} = x_{22} = \cdots = x_{nn} = 1\\ & x_{ij} = 0 \text{ for all } (i,j) \in \mathcal Z \subset [n] \times [n]\\ & \mathrm X \geq \mathrm O_n\\ & \mathrm X \succeq \mathrm O_n\end{array}$$

---

一个 $3 \times 3$ 例

假设我们想要 $x_{13} = 0$ 和 $x_{12}, x_{23} \geq 0$。这是MATLAB + CVX脚本，

cvx_begin sdp

    variable X(3,3) symmetric

    minimize( trace(zeros(3,3)*X) )
    subject to

        % put ones on the main diagonal
        X(1,1)==1
        X(2,2)==1
        X(3,3)==1

        % put a zero in the northeast and southwest corners
        X(1,3)==0

        % impose nonnegativity
        X(1,2)>=0
        X(2,3)>=0

        % impose positive semidefiniteness
        X >= 0

cvx_end

运行脚本，

Calling sedumi: 8 variables, 6 equality constraints
------------------------------------------------------------
SeDuMi 1.21 by AdvOL, 2005-2008 and Jos F. Sturm, 1998-2003.
Alg = 2: xz-corrector, Adaptive Step-Differentiation, theta = 0.250, beta = 0.500
eqs m = 6, order n = 6, dim = 12, blocks = 2
nnz(A) = 8 + 0, nnz(ADA) = 36, nnz(L) = 21
 it :     b*y       gap    delta  rate   t/tP*  t/tD*   feas cg cg  prec
  0 :            3.00E+000 0.000
  1 : -1.18E-001 6.45E-001 0.000 0.2150 0.9000 0.9000   1.86  1  1  1.2E+000
  2 : -6.89E-004 2.25E-002 0.000 0.0349 0.9900 0.9900   1.52  1  1  3.5E-001
  3 : -6.48E-009 9.72E-007 0.097 0.0000 1.0000 1.0000   1.01  1  1  3.8E-006
  4 : -3.05E-010 2.15E-009 0.000 0.0022 0.9990 0.9990   1.00  1  1  1.5E-007
  5 : -2.93E-016 5.06E-015 0.000 0.0000 1.0000 1.0000   1.00  1  1  3.2E-013

iter seconds digits       c*x               b*y
  5      0.3   5.8  0.0000000000e+000 -2.9302886987e-016
|Ax-b| =  1.7e-015, [Ay-c]_+ =  6.1E-016, |x|= 2.0e+000, |y|= 1.5e-015

Detailed timing (sec)
   Pre          IPM          Post
1.563E-001    2.500E-001    1.094E-001    
Max-norms: ||b||=1, ||c|| = 0,
Cholesky |add|=0, |skip| = 0, ||L.L|| = 1.
------------------------------------------------------------
Status: Solved
Optimal value (cvx_optval): +0

让我们看看CVX找到了什么解决方案，

>> X

X =

    1.0000    0.4143         0
    0.4143    1.0000    0.4143
         0    0.4143    1.0000

这个矩阵是正半定的吗？正定？

>> rank(X)

ans =

     3

>> eigs(X)

ans =

    1.5860
    1.0000
    0.4140

正如预期的那样，它是肯定的。我们可以通过选择一个非零（线性）目标函数来找到正半定相关矩阵。