不同分布的中值绝对偏差（MAD）和SD

对于正态分布的数据，标准偏差和中位数绝对偏差通过以下方式关联： $\sigma$ $\text{MAD}$

$\sigma=\Phi^{-1}(3/4)\cdot \text{MAD}\approx1.4826\cdot\text{MAD},$

其中是标准正态分布的累积分布函数。 $\Phi()$

其他分布有类似关系吗？

distributions standard-deviation mad

— 维克
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您打算使用哪种分布？

— gung-恢复莫妮卡

没有具体的分布。我只是遇到了一些奇怪的数据集，我想知道常量的值是否可能存在范围...

— vic 2015年

是的，对于许多发行版来说-但数字不同。

— Glen_b-恢复莫妮卡2015年

如果你想知道怎么会MAD转换为SD值的可能范围内，为什么不问在这个问题吗？

— Glen_b-恢复莫妮卡

请说明“ MAD”是什么：它具有多个常规含义！（并且它们都为正态分布提供相同的值。）

— whuber

Answers:

要解决评论中的问题：

我想知道常量的值是否可能

（我假设问题旨在关于中位数与中位数的偏差。）

SD与MAD之比可以任意增大。

在给定的SD与MAD比率下进行一些分布。持中间固定的分布（这意味着MAD是不变）的。将尾巴进一步移开。SD增加。继续将其移动到任何给定的有限范围之外。 $50\%+\epsilon$
SD与MAD之比可以很容易地设为根据需要通过（例如）将在和为0。 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ $25\%+\epsilon$ $\pm 1$ $50\%-2\epsilon$

我认为那会变得很小。

在此处输入图片说明

— Glen_b-恢复莫妮卡
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是你的“MAD”的解释中位数绝对偏离平均值或从中间（这是经常使用的，是明确的解释在西安的答案）？

— ub

@whuber-务必要清楚，谢谢。我将其解释为西安的中位数。（我在某处出错了吗？）

— Glen_b-恢复莫妮卡（Monica

我没有看到任何错误-在问题或答案中都不清楚要使用哪种解释（尽管通过一些分析，读者可以弄清楚您使用的是哪种）。我记得在几周前才看到一个关于均值偏离解释的问题。

— ub

对于密度的任何给定分布，中值绝对偏差由下式给出，其中是的CDF 和，其中是的CDF 。 $f(x;\theta)$ $\text{MAD}_\theta=G^{-1}_\theta(1/2)$ $G_\theta$ $|X-\text{MED}_\theta|$ $\text{MED}_\theta=F^{-1}_\theta(1/2)$ $F_\theta$ $X$

在情况下，当，即，当标准偏差是唯一的参数，因此是确定性函数。 $\theta=\sigma$ $\text{MAD}_\theta$ $\sigma$
在情况下，当和是位置参数，即，当然后分布与的分布相同 $\theta=(\mu,\sigma)$ $\mu$ $f (x; θ) = g ({x - μ} / σ) / σ$ $f(x;\theta)=g(\{x-\mu\}/\sigma)/\sigma$ $|X-\text{MED}_\theta|$ $|\{X-\mu\}-\{\text{MED}_\theta-\mu\}|$ ，因此与无关。因此仅仅依赖于和再次是确定性函数。 $\mu$ $G_\theta$ $\sigma$ $\text{MAD}_\theta$ $\sigma$

— 西安
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