在这里加1的技巧是什么？

我一直在寻找在此页面上Lillefors测试的蒙特卡洛实现。我不明白这句话：

模拟中的计算中存在随机误差。但是，由于在计算P值时将分子和分母加1的技巧，可以在不考虑随机性的情况下直接使用。

将分子和分母加1的技巧是什么意思？

相关的代码在这里：

n <- length(x)
nsim <- 4999
d.star <- double(nsim)
for (i in 1:nsim) {
    x.star <- rnorm(n)
    d.star[i] <- fred(x.star)
}
hist(d.star)
abline(v = d.hat, lty = 2)
## simulation-derived P-value
pval <- (sum(d.star > d.hat) + 1) / (nsim + 1)

参考页面上的说明是

在零假设下，当同时考虑数据的随机性和模拟的随机性时，概率恰好是。$\Pr(P \le k / n_\text{sim})$$k / n_\text{sim}$

要理解这一点，我们必须查看代码，其中的关键行（缩写为缩写）是

fred <- function(x) {ks.test(...)$statistic}  # Apply a statistical test to an array
d.hat <- fred(x)                              # Apply the test to the data
d.star <- apply(matrix(rnorm(n*nsim), n, nsim),
                2, fred)                      # Apply the test to nsim simulated datasets
pval <- (sum(d.star > d.hat) + 1) / (nsim + 1)# Estimate a simulation p-value

一个突出的问题是代码与引号不匹配。 我们如何调和他们？尝试从报价的最后一半开始。我们可能将过程解释为包括以下步骤：

1. 根据某些概率定律收集独立且均匀分布的数据。应用测试过程（在代码中实现为）以产生数字。$X_1, X_2, \ldots, X_n$$G$$t$fred$T_0=t(X_1, \ldots, X_n)$

2. 根据具有机率定律的零假设，通过计算机生成可比较的数据集，每个数据集的大小为。将应用于每个这样的数据集以产生数字。$N=n_\text{sim}$$n$$F$$t$$N$$T_1,T_2,\ldots,T_N$

3. 计算

   $$P = \left(\sum_{i=1}^N I(T_i \gt T_0) + 1\right) / (N+1).$$

   （“ ”是由矢量值比较实现的指示器功能中的代码。）右手侧被理解为是凭借的随机同步的随机性（实际测试统计量）和所述的随机性（模拟测试统计信息）。 $I$d.star > d.hat$T_0$$T_i$

地说，数据符合零假设是断言。选择一个测试大小，。 将两侧都乘以并减去表明，任意数的机会是不超过。 这仅表示位于所有测试统计信息的排序集合的顶部之内。由于（按施工）$F=G$$\alpha$$0 \lt \alpha \lt 1$$N+1$$1$$P\le \alpha$$\alpha$$(N+1)\alpha - 1$$T_i$$T_0$$T_0$$(N+1)\alpha$$N+1$$T_0$与所有无关，当是连续分布时，该机会将是整数部分表示的分数；即，它将与提供的值完全相等是整数 ; 也就是说，当。$T_i$$F$$\lfloor (N+1)\alpha\rfloor$

对于任何应被称为“ p值”的数量，这当然都是我们想要实现的事情之一：它应该在上具有均匀的分布。假设相当大，那么任何都接近于形式的某个分数，则此将具有接近均一的形式分配。（要了解p值所需的其他条件，请阅读我发布的有关p值的对话框。）$[0,1]$$N+1$$\alpha$$k/(N+1) = k/(n_\text{sim}+1)$$P$

显然，引号无论出现在哪里都应使用“ ”而不是“ ”。$n_\text{sim}+1$$n_\text{sim}$

我相信在这里，两者都加了1，因为观察到的统计量包含在参考分布中；如果是这种情况，那是因为p值定义的“至少一样大”。

我不确定，因为文字似乎在说些不同，但这就是我这样做的原因。