基于马尔可夫链的抽样是蒙特卡洛抽样的“最佳”方法吗？有替代方案吗？

马尔可夫链蒙特卡洛方法是基于马尔可夫链的方法，它使我们能够从非标准分布中获取样本（在蒙特卡洛环境中），而我们无法直接从中提取样本。

我的问题是，为什么马尔可夫链对于蒙特卡洛采样来说是“最先进的”。另一个问题可能是，是否还有其他方法（如马尔可夫链）可用于蒙特卡洛采样？我知道（至少从研究文献的角度来看）MCMC具有深厚的理论根源（就（a）周期性，同质性和详细平衡之类的条件而言），但我想知道蒙特卡洛是否有任何“可比的”概率模型/方法卡洛采样类似于马尔可夫链。

如果我对问题的某些部分感到困惑（或者似乎完全令人困惑），请指导我。

没有理由说明MCMC采样是“最好的”蒙特卡洛方法！通常，它至少比iid采样差，相反，至少就所得的蒙特卡洛估计量的方差而言实际上，尽管该平均值当是马尔可夫链的平稳且极限分布时，收敛到期望，使用MCMC方法至少有两个缺点：

1. 链需要“达到平稳性”，这意味着它需要忘记其初始值。换句话说，必须“足够大” 才能从分发。有时“足够大”可能会超出实验的计算预算几个数量级。$X_0$$t$$X_t$$\pi$
2. 值是相关的，从而导致其涉及的渐近方差 这通常超过，因此与iid样本相比，需要更长的模拟时间。$X_t$ $$\text{var}_\pi(X)+2\sum_{t=1}^\infty\text{cov}_\pi(X_0,X_t)$$ $\text{var}_\pi(X)$

话虽如此，MCMC在处理无法进行常规iid采样或成本太高且重要采样很难校准的设置时非常有用，特别是由于要模拟的随机变量的大小。

但是，诸如粒子滤波器之类的顺序蒙特卡洛方法可能更适合于动力学模型，在动力学模型中，数据来自突发事件，需要立即关注，并且可能在短时间内消失（即无法存储）。

总之，MCMC是一种非常有用（且使用非常频繁）的工具，用于处理常规蒙特卡洛解决方案无法解决的复杂设置。

有多种方法可以从分布中生成随机值，McMC是其中一种，但也可以考虑使用其他几种方法（没有马尔可夫链部分）。

单变量采样最直接的方法是生成一个统一的随机变量，然后将其插入逆CDF函数。如果您具有逆CDF，那么效果很好，但是当CDF和/或其逆很难直接计算时，这会很麻烦。

对于多变量问题，您可以从copula生成数据，然后对生成的值使用逆CDF方法以使变量之间具有一定程度的相关性（尽管为copula指定正确的参数以获得所需的相关性水平通常需要一些反复试验）。

拒绝采样是另一种方法，可用于从不需要知道CDF或其逆数（并且甚至不需要密度函数的归一化常数）的分布（单变量或多变量）中生成数据，但这在某些情况下会花费很多时间，效率很低。

如果您对自己生成的数据摘要感兴趣，而不是对自己的随机点感兴趣，那么重要性抽样是另一种选择。

吉布斯抽样是McMC抽样的一种形式，只要您知道每个变量在给定其他变量的条件下的分布，就可以在不知道多元分布确切形式的地方进行抽样。

还有其他一些，最好取决于您知道和不知道的内容以及特定问题的其他详细信息。McMC之所以受欢迎是因为它在许多情况下都可以很好地工作，并且可以推广到许多不同的情况。