仅根据相关总数估算一袋水果的质量？

我大学的一位老师提出了一个这样的问题（由于上课已经结束，所以我不参加家庭作业，所以不打算做作业）。我不知道该怎么办。

问题涉及2个袋子，每个袋子中包含各种不同种类的水果：

第一个袋子包含以下随机选择的水果：

+ ------------- + -------- + --------- +
| 直径厘米| 质量g | 烂？|
+ ------------- + -------- + --------- +
| 17.28 | 139.08 | 0 |
| 6.57 | 91.48 | 1 |
| 7.12 | 74.23 | 1 |
| 16.52 | 129.8 | 0 |
| 14.58 | 169.22 | 0 |
| 6.99 | 123.43 | 0 |
| 6.63 | 104.93 | 1 |
| 6.75 | 103.27 | 1 |
| 15.38 | 169.01 | 1 |
| 7.45 | 83.29 | 1 |
| 13.06 | 157.57 | 0 |
| 6.61 | 117.72 | 0 |
| 7.19 | 128.63 | 0 |
+ ------------- + -------- + --------- +

第二个袋子包含与第一个袋子来自同一家商店的6个随机选择的水果。它们的直径之和为64.2厘米，其中4个是烂的。

估计第二个袋子的质量。

我可以看到似乎有两种不同的水果，它们的直径和质量呈正态分布，但我对如何进行却一无所知。

让我们开始绘制数据并对其进行查看。这是非常有限的数据量，因此在有很多假设的情况下，这将是临时的。

rotten <- c(0,1,1,0,0,0,1,1,1,1,0,0,0)
rotten <- as.factor(rotten)
mass <- c(139.08, 
        91.48,
        74.23,
        129.8,
        169.22,
        123.43,
        104.93,
        103.27,
        169.01,
        83.29,
        157.57,
        117.72,
        128.63)
diam <- c(17.28,
        6.57,
        7.12,
        16.52,
        14.58,
        6.99,
        6.63,
        6.75,
        15.38,
        7.45,
        13.06,
        6.61,
        7.19)

plot(mass,diam,col=rotten,lwd=2)
title("Fruits")

这就是数据，红点代表烂水果：

您认为似乎有两种水果是正确的。我所做的假设如下：

• 直径将水果分为两组
• 直径大于10的水果在一组中，其他则在较小的组中。
• 大水果组中只有一种烂水果。假设如果水果属于大类，那么烂不影响重量。这是必不可少的，因为该组中只有一个数据点。
• 如果果实是小果实，那么腐烂会影响质量。
• 假设变量diam和mass正态分布。

因为假定直径的总和为64.2厘米，所以很可能两个水果大而四个水果小。现在有3种重量的箱子。有2、3或4个小水果烂了（假设大水果烂了不会影响质量）。因此，现在您可以通过计算这些值来确定质量范围。

我们可以凭经验估计小果实腐烂的可能性。我们使用概率来加权估计的质量，具体取决于烂果的数量：

samps <- 100000
stored_vals <- matrix(0,samps,2)
for(i in 1:samps){
  numF <- 0 # Number of small rotten
  numR <- 0 # Total number of rotten
  # Pick 4 small fruits
  for(j in 1:4){
    if(runif(1) < (5/8)){ # Empirical proportion of small rotten
      numF <- numF + 1
      numR <- numR + 1
    } 
  }
  # Pick 2 large fruits
  for(j in 1:2){
    if(runif(1) < 1/5){# Empirical proportion of large rotten
      numR <- numR + 1
    }
  }
  stored_vals[i,] <- c(numF,numR)
}

# Pick out samples that had 4 rotten
fourRotten <- stored_vals[stored_vals[,2] == 4,1]
hist(fourRotten)

table(fourRotten)

# Proportions 
props <- table(fourRotten)/length(fourRotten)

massBig <- mean(mass[diam>10])
massSmRot <- mean(mass[diam<10 & rotten == 1])
massSmOk <- mean(mass[diam<10 & rotten == 0])

weights <- 2*massBig + c(2*massSmOk+2*massSmRot,1*massSmOk+3*massSmRot,4*massSmRot)

Est_Mass <- sum(props*weights) 

最终估算为691.5183g。我认为您必须做出我做出的大多数假设才能得出结论，但是我认为以一种更明智的方式来做到这一点是可能的。我还凭经验取样以获得腐烂的小果实数量的可能性，这只是懒惰，可以“解析地”完成。

我将提出以下方法：

1. 生成满足4个烂条件的所有6元组。他们是${6\choose 4}{7\choose 2}$。
2. 仅从生成的元组中选择满足直径条件的元组。
3. 计算所选元组的平均权重（通常是算术平均值）。

所有这些都可以通过一个简单的脚本进行管理。

从最简单到最复杂的多种方法，

1. 6（平均质量）
2. 6（平均体积）（平均密度）
3. 4（平均质量）+ 2（平均质量）
4. 4（（平均腐烂体积）+ 2（平均非腐烂体积））（平均密度）
5. 4（平均腐烂体积）（平均腐烂密度）+ 2（平均不腐烂体积）（平均不腐烂密度）

。。。

组合方法

这些方法是按照计算简单的顺序排列的，而不是以任何一种方法更好或根本没有好处的顺序排列的。选择使用哪种方法取决于已知或假定的人口特征。例如，如果商店人口中的水果质量呈正态分布且与直径和腐烂状况无关，则可以使用第一种最简单的方法，而没有使用更复杂方法的任何优点（甚至是多个变量的采样误差的缺点） 。如果不是独立地均匀分布的随机变量，则根据有关总体的已知或假定信息进行更复杂的选择可能会更好。