I型和II型错误的概率是否负相关？

在我作为助教的基础统计课上，这位教授说，随着I型错误的概率增加，II型错误的概率降低，反之亦然。因此，这向我表明。$\alpha$$\beta$$\rho_{\alpha, \beta} < 0$

但是对于一般的假设检验，如何证明这一点呢？总体而言，该说法是否正确？

我可以尝试一个特定的情况（例如和），但是显然，这不足以解决这个问题。$H_0: \mu = \mu_0$$H_1: \mu < \mu_0$

这些数量（和β）不是随机变量，因此我不愿说出它们的皮尔逊相关性。我不确定在什么意义上适用。$\alpha$$\beta$

从合理的意义上讲（但请参阅下文*），并且保持其他条件（如样本大小和计算的效果大小）相等，则两者是负相关的-如果更改α，则β将移动相反的方向（具体来说，在典型情况下，β是α的函数；请指定足够的数量来确定β，它取决于α-在最合理的情况下，该关系将是您要在实际测试-负相关）。$\beta$$\alpha$$\beta$$\beta$$\alpha$$\beta$$\alpha$

考虑例如一些功率曲线。移动将随功率曲线（1 - β）一起向上或向下推动，因此，曲线上某个点的β（即曲线与1之间的距离）随α的增加而减小。这是一个两尾测试（例如t检验）的示例。$\alpha$$1-\beta$$\beta$$\alpha$

单尾情况类似，但是您将注意力集中在上图的右半部分（图片左半部分的两条曲线将朝着零尾部移动）

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*在某些情况下并非必须如此。考虑通过Kolmogorov-Smirnov测试来测试均匀（0,1）。

让我们考虑的可能性，相反，我们有一个统一的† （或实际上，与单位区间外某种概率分布的任何）。$(0,1+\epsilon)$ $^\dagger$

如果我观察到的值不位于（0,1）中，则Kolmogorov-Smirnov检验不一定会拒绝null。但是我可以进行第二项测试（称为KS *测试），类似于Kolmogorov-Smirnov，不同之处在于，当我们观察到（0,1）以外的值时，无论是否使用常规统计，我们都将拒绝null。达到临界值。

然后，对于任何可能性在（0,1）之外的替代方案，我们都降低了II型错误率（与普通KS测试相比），而根本没有改变。$\alpha$

$\dagger$（在这种情况下，使用KS通常不是一个好主意，因此，如果您知道有可能，则需要仔细考虑替代方法）

让表示具有密度观察˚F 0（X ）或˚F 1（X ），根据作为假说ħ 0或ħ 1是真实的。让Γ 0和Γ 1表示判决区域。因此，Γ 0 ∩ Γ 1 = ∅，Γ 0 ∪ Γ 1 = - [R和判定是ħ 我是真当且仅当X $X$$f_0(x)$$f_1(x)$$H_0$$H_1$$\Gamma_0$$\Gamma_1$$\Gamma_0 \cap \Gamma_1 = \emptyset$$\Gamma_0 \cup \Gamma_1 = \mathbb R$$H_i$。然后，类型I和类型II的错误概率为 P （类型I错误$X \in \Gamma_i$ 考虑两个其他判决区域Γ ' 0和Γ ' 1 ，使得Γ1＆Subset;Γ ' 1和Γ ' 0＆Subset;Γ0。现在， ＆Integral;Γ ' 1 ˚F0（X

$$\begin{align} P(\text{Type I error}) &= \int_{\Gamma_1}f_0(x)\,\mathrm dx\tag{1}\\ P(\text{Type II error}) &= \int_{\Gamma_0}f_1(x)\,\mathrm dx.\tag{2} \end{align}$$ $\Gamma_0^\prime$$\Gamma_1^\prime$$\Gamma_1 \subset \Gamma_1^\prime$$\Gamma_0^\prime \subset \Gamma_0$ 因为积分在更大的集合上，这意味着新的决策规则具有更大的I类错误概率。还要注意 ∫ Γ ' 0 ˚F 1（X $$\int_{\Gamma_1^\prime}f_0(x)\,\mathrm dx \geq \int_{\Gamma_1}f_0(x)\,\mathrm dx$$ 因为积分在较小的集合上，因此新的决策规则具有较小的II类错误概率。 $$\int_{\Gamma_0^\prime}f_1(x)\,\mathrm dx \leq \int_{\Gamma_0}f_1(x)\,\mathrm dx$$

$\alpha$$\beta$$\alpha$$\beta$

$\alpha$$\beta$