“稳健统计：基于影响函数的方法”练习2.2a.16的解决方案

在“ 稳健统计：基于影响函数的方法”的第180页上，找到以下问题：

• 16：表明对于位置不变的估计量，总是 。在为奇数或为偶数的情况下，在有限样本击穿点上找到相应的上限。$\varepsilon^*\leq\frac{1}{2}$$\varepsilon^*_n$$n$$n$

第二部分（句号之后）实际上是微不足道的（鉴于第一部分），但是我找不到方法来证明问题的第一部分（句子）。

在本书中与该问题有关的部分中，发现（p98）：

定义2：样本（x_1，\ ldots，x_n）上估计量的有限样本分解点由下式给出：\ varepsilon ^ * _ n（T_n; x_i，\ ldots，x_n）：= \ frac {1} {n} \ max \ {m：\ max_ {i_1，\ ldots，i_m} \ sup_ {y_1，\ ldots，y_m} \; || T_n（z_1，\ ldots，z_n）| <\ infty \}$\varepsilon^*_n$$T_n$$(x_l,\ldots, x_n)$

$$\varepsilon^*_n(T_n;x_i,\ldots,x_n):=\frac{1}{n}\max\{m:\max_{i_1,\ldots,i_m}\sup_{y_1,\ldots,y_m}\;|T_n(z_1,\ldots,z_n)|<\infty\}$$

其中通过将m个数据点 x_ {i_1}，\ ldots，x_ {i_m}替换为任意值 y_1，\ ldots，y_m来获得样本（z_1，\ ldots，z_n）。$(z_1,\ldots,z_n)$$m$$x_{i_1},\ldots,x_{i_m}$$y_1,\ldots,y_m.$

\ varepsilon ^ *的正式定义$\varepsilon^*$本身几乎可以运行一页，但可以认为是

$$\varepsilon^*=\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\varepsilon^*_n$$ 尽管没有明确定义，可以猜到位置不变意味着$T_n$必须满足 $$T_n(x_1,\ldots,x_n)= T_n(x_1+c,\ldots,x_n+c), \text{ for all } c\in \Bbb{R}$$

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我（尝试）在下面的评论中回答了胡布的问题。该书将估算器T_n定义$T_n$为几页，从p82开始，我尝试重现主要部分（我认为它将回答wuber的问题）：

假设我们有一个一维的观测值，它们是独立的并且分布相同（iid）。观测值属于某个样本空间，它是实线的子集（通常仅等于本身，因此观测值可以取任何值）。参数模型由样本空间上的概率分布，其中未知参数属于某个参数空间$(X_1,\ldots,X_n)$$\mathcal{H}$$\mathbb{R}$$\mathcal{H}$$\mathbb{R}$$F_\theta$$\theta$$\Theta$

...

我们通过经验分布确定样本，而忽略了观测的顺序（几乎总是如此）。形式上，，由下式给出 其中是在点1质量。作为估计量，我们考虑实值统计。从广义上讲，一个估计量可以看成是统计量的序列， 每个可能的样本量都有一个。理想情况下，根据参数模型的成员进行观察 $(X_1,\ldots,X_n)$$G_n$$G_n$$(1/n)\sum_{i=1}^n\Delta_{x_i}$$\Delta_{X}$$X$$\theta$$T_n=T_n(X_1,\ldots,X_n)=T_n(G_n)$$\{T_n,n\geq 1\}$$n$$\{F_\theta;\theta\in\Theta\}$，但类 的所有可能的概率分布的上 是大得多。$\mathcal{F}(\mathcal{H})$$\mathcal{H}$

我们考虑估计量，它们是函[即， 对于所有和为 ]或可以渐近地由替换。这意味着我们假设存在功能正常的 [其中的域是所有分布的集合对于其中 被定义]，使得 在概率当观测根据真实分布IID在。我们说$T_n(G_n)=T(G_n)$$n$$G_n$$T:\mbox{domain}(T)\rightarrow\mathbb{R}$$T$$\mathcal{F}(\mathcal{H})$$T$

$$T_n(X_1,\ldots,X_n)\underset{n\rightarrow\infty}{\rightarrow}T(G)$$ $G$$\mbox{domain}(T)$$T(G)$是在处的渐近值 。$\{T_n;n\geq 1\}$$G$

...

在本章中，我们始终假定所研究的功能是费雪一致的（Kallianpur和Rao，1955年）： ，这意味着在模型中，估算器 渐近地测量正确的数量。与通常的一致性或渐近无偏性相比，Fisher一致性的概念对功能更合适且更优雅。

$$T(F_\theta)=\theta\;\mbox{ for all } \theta\in\Theta$$ $\{T_n;n\geq 1\}$

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较早的统计书使用“不变式”的方式与人们预期的略有不同。模棱两可的术语仍然存在。更现代的等价形式是“等价的”（请参阅​​本文结尾处的参考资料）。在当前情况下，这意味着

$$T_n(X_1+c,X_2+c,\ldots,X_n+c) = T_n(X_1,X_2,\ldots,X_n) + c$$

对于所有真实的。$c$

为了解决这个问题，假设具有以下性质：对于足够大的，所有实数和所有，$T_n$$n$$c$$m \le \varepsilon^{*}n$

$$|T_n(\mathbf{X + Y}) - T_n(\mathbf{X})| = o(|c|)$$

每当不同于由至多在至多坐标。$\mathbf Y$$\mathbf{X}$$c$$m$

（这是一个比击穿界限的定义要弱的条件。实际上，我们真正需要假设的是，当足够大时，表达式“ ”的某个值保证小于）$n$$o(|c|)$$|c|/2$

证明是矛盾的。 因此，假定该也是等变的，并且假定。那么对于足够大的，是一个整数，其中和。对于任何实数定义$T_n$$\varepsilon^{*} \gt 1/2$$n$$m(n) = \lfloor \varepsilon^{*}n\rfloor$$m(n)/n \le \varepsilon^{*}$$(n-m(n))/n \le \varepsilon^{*}$$a,b$

$$t_n(a, b) = T_n(a, a, \ldots, a,\ b, b, \ldots, b)$$

其中有和。通过更改或更少的坐标，我们得出结论$m(n)$ $a$$n-m(n)$ $b$$m(n)$

$$|t(a,b) - t(0,b)| = o(|a|)$$

和

$$|t(a,b) - t(a,0)| = o(|b|).$$

对于三角不等式断言$c\gt 0$

$$\eqalign{ c = |t_n(c, c) - t_n(0, 0)| &\le |t_n(c, c) - t_n(c, 0)| + |t_n(c, 0) - t_n(0,0)| \\&= o(c) + o(c) \\&\lt c/2 + c/2 \\ &= c}$$

对于足够大的确保倒数第二行上的严格不等式。它所隐含的矛盾证明了$n$$c \lt c$$\varepsilon^{*} \le 1/2.$

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参考文献

EL Lehmann，点估计理论。约翰·威利（John Wiley）1983年。

在正文（第3章，第1节）和随附的脚注中，莱曼写道

对于所有都满足的估计量将称为等变量 ...$\delta(X_1+a, \ldots, X_n+a) = \delta(X_1,\ldots,X_n)+a$$a$

一些作者称这类估计量为“不变的”。由于这表明估计量在下保持不变，因此似乎最好将该项保留用于所有满足的。$X_i^\prime = X_i+a$$u(x+a)=u(x)$$x,a$