对正态分布的高阶产品的期望

我有两个正态分布的变量和，均值零，协方差矩阵。我有兴趣尝试根据的条目来计算的值。$X_1$$X_2$$\Sigma$$E[X_1^2 X_2^2]$$\Sigma$

我用总概率定律得到 但我不确定内部期望会降低到什么。这里还有其他方法吗？$E[X_1^2 X_2^2] = E[X_1^2 E[X_2^2 | X_1]]$

谢谢。

编辑：变量也是多元正态分布。

期望显然与平方比例因子的乘积成正比。通过对变量进行标准化可以获得比例常数，从而将降低为具有相关的相关矩阵。$\sigma_{11}\sigma_{22}$$\Sigma$$\rho = \sigma_{12}/\sqrt{\sigma_{11}\sigma_{22}}$

假设双变量正态性，那么根据https://stats.stackexchange.com/a/71303的分析，我们可以将变量更改为

$$X_1 = X,\ X_2 = \rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right) Y$$

其中具有标准的（不相关的）双变量正态分布，我们只需要计算$(X,Y)$

$$\mathbb{E}\left(X^2 (\rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right) Y)^2\right) = \mathbb{E}(\rho^2 X^4 + (1-\rho^2)X^2 Y^2 + c X^3 Y)$$

常数的精确值无关紧要。（是对回归时的残差。）使用标准正态分布的单变量期望$c$$Y$$X_2$$X_1$

$$\mathbb{E}(X^4)=3,\ \mathbb{E}(X^2) = \mathbb{E}(Y^2)=1,\ \mathbb{E}Y=0$$

并指出和是独立收益$X$$Y$

$$\mathbb{E}(\rho^2 X^4 + (1-\rho^2)X^2 Y^2 + c X^3 Y) = 3\rho^2 + (1-\rho^2) + 0 = 1 + 2\rho^2.$$

将此乘以可得出$\sigma_{11}\sigma_{22}$

$$\mathbb{E}(X_1^2 X_2^2) = \sigma_{11}\sigma_{22} + 2\sigma_{12}^2.$$

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相同的方法适用于在找到任何多项式的期望 ，因为它成为的多项式，并且当展开时，是独立正态分布变量和的多项式。从$(X_1,X_2)$$(X, \rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right)Y)$$X$$Y$

$$\mathbb{E}(X^{2k}) = \mathbb{E}(Y^{2k}) = \frac{(2k)!}{k!2^k} = \pi^{-1/2} 2^k\Gamma\left(k+\frac{1}{2}\right)$$

对于积分（对称性所有奇数矩等于零），我们可以得出$k\ge 0$

$$\mathbb{E}(X_1^{2p}X_2^{2q}) = (2q)!2^{-p-q}\sum_{i=0}^q \rho^{2i}(1-\rho^2)^{q-i}\frac{(2p+2i)!}{(2i)! (p+i)! (q-i)!}$$

（所有其他对单项式期望的期望都等于零）。这与超几何函数成比例（几乎可以定义为：涉及的操作不深入或没有启发性），

$$\frac{1}{\pi} 2^{p+q} \left(1-\rho ^2\right)^q \Gamma \left(p+\frac{1}{2}\right) \Gamma \left(q+\frac{1}{2}\right) \, _2F_1\left(p+\frac{1}{2},-q;\frac{1}{2};\frac{\rho ^2}{\rho ^2-1}\right).$$

超几何函数时间被视为非零的乘法校正。$\left(1-\rho ^2\right)^q$$\rho$