如何计算似然函数

3个电子元件的使用寿命是 $X_{1} = 3, X_{2} = 1.5,$ 和 $X_{3} = 2.1$。根据参数的指数分布，已将随机变量建模为大小为3的随机样本$\theta$。似然函数为$\theta > 0$

$f_{3}(x|\theta) = \theta^{3} exp(-6.6\theta)$，在哪里 $x = (2, 1.5, 2.1)$。

然后问题继续进行，通过找到的值确定MLE。 $\theta$ 最大化 $log f_{3}(x|\theta)$。我的问题是，如何确定似然函数？我查看了指数分布的pdf，但有所不同。那么问题中是否总是给我提供似然函数？还是我必须自己确定？如果是这样，怎么办？

样本的似然函数是所涉及的随机变量的联合密度，但是在这些随机变量的具体实现示例中，被视为未知参数的函数。

在您的情况下，似乎这里的假设是这些电子组件的寿命均遵循（即其具有边际分布），即具有相同速率参数的指数分布$\theta$，因此边际PDF为：

$$f_{X_i}(x_i\mid \theta) = \theta e^{-\theta x_i}, \;\; i=1,2,3$$

同样，似乎每个组件的寿命完全独立于其他组件的寿命。在这种情况下，联合密度函数是三个密度的乘积，

$$f_{X1,X2,X3}(x_1,x_2,x_3\mid \theta) = \theta e^{-\theta x_1} \cdot \theta e^{-\theta x_2}\cdot \theta e^{-\theta x_3} = \theta^3\cdot \exp{\left\{-\theta \sum_{i=1}^3x_i\right\}}$$

为了将其转化为样本的似然函数，我们将其视为 $\theta$ 给定一个特定的样本 $x_i$的。

$$L(\theta \mid \{x_1,x_2,x_3\}) = \theta^3\cdot \exp{\left\{-\theta \sum_{i=1}^3x_i\right\}}$$

仅左侧已更改的位置，以指示被视为函数变量的位置。在您的情况下，可用的样本是观察到的三个寿命$\{x_1 = 3, x_2 =1.5, x_3 = 2.1\}$， 所以 $\sum_{i=1}^3x_i = 6.6$。那么可能性是

$$L(\theta \mid \{x_1 = 3, x_2 =1.5, x_3 = 2.1\}) = \theta^3\cdot \exp{\left\{-6.6\theta \right\}}$$

换句话说，在可能的情况下，已经在其中插入了可用的特定样本。通常不会这样做，即我们通常会“停止”一般可能性的理论表示$x_i$然后，我们推导相对于 $\theta$，然后将最大化条件的特定数值样本插入 $x$值，以获得特定的估计 $\theta$。

诚然，看着这样的可能性，可能会更清楚地表明，对于推论（对于特定的分布假设），重要的是实现的总和，而不是它们的单个值：以上可能性不是“样本”。特定的”，而是“特定实现的总和”：如果我们得到任何其他$n=3$ 其元素之和再次为的样本 $6.6$，我们将获得相同的估算值 $\theta$ （从本质上讲，这就是说 $\sum x$ 是“足够”的统计信息-在特定的分布假设下，它包含样本可以提供推论的所有信息）。