ML指数分布的估计值（带有检查数据）

在生存分析中，假设rv的生存时间呈指数分布。现在考虑我有i_1 rv的 “结果” 。这些结果中只有一部分实际上是“完全实现”的，即其余观察结果仍然是“有效的”。$X_i$$x_1,\dots,x_n$$X_i$

如果我想对分布的速率参数进行ML估计，该如何以连贯/适当的方式利用未实现的观测值？我相信它们仍然包含有用的信息以供估算。$\lambda$

有人可以指导我阅读有关该主题的文献吗？我确定它存在。但是，我很难找到适合该主题的关键字/搜索字词。

您仍然可以直接使用似然来估计参数。设观测 ，其指数分布为且未知。密度函数为，累积分布函数和尾部函数。假设前观测值被完全观测，而对于我们仅知道对于某些已知的正常数，$x_1, \dots, x_n$$\lambda>0$$f(x;\lambda)= \lambda e^{-\lambda x}$$F(x;\lambda)=1-e^{-\lambda x}$$G(x;\lambda)=1-F(x;\lambda) = e^{-\lambda x}$$r$$x_{r+1}, \dots, x_n$$x_j > t_j$$t_j$。像往常一样，对于被检查的观测，似然性是“观测数据的概率”，它由，因此完全似然函数为 对数似然函数变为 具有相同的形式的对数似然用于通常的，完全观察到的情况下，除了从第一项在地方。用表示观测值和审查时间的平均值，的最大似然估计值变为$P(X_j > t_j) = G(t_j;\lambda)$

$$L(\lambda) = \prod_{i=1}^r f(x_i;\lambda) \cdot \prod_{i=r+1}^n G(t_j;\lambda)$$ $$l(\lambda) = r\log\lambda -\lambda(x_1+\dots+x_r+t_{r+1}+\dots+ t_n)$$ $r\log\lambda$$n\log\lambda$$T$$\lambda$$\hat{\lambda}=\frac{r}{nT}$，您可以自己将其与完全观察到的情况进行比较。

 EDIT   

要尝试在评论中回答问题：如果对所有观察进行了审查，也就是说，我们没有等待足够长的时间观察任何事件（死亡），我们该怎么办？在那种情况下，，因此对数似然变为 ，即，它在呈线性递减关系。因此，最大值必须为！但是，零不是速率参数的有效值，因为它不对应于任何指数分布。我们必须得出结论，在这种情况下，最大似然估计器不存在！也许可以尝试为构建某种置信区间$r=0$

$$l(\lambda) = -nT \lambda$$ $\lambda$$\lambda=0$$\lambda$$\lambda$基于对数似然函数？为此，请看下面。

但是，无论如何，在那种情况下，从数据中得出的真正结论是，我们应该等待更多的时间，直到发生一些事件...

这是我们可以为构造一个（单侧）置信区间的方法，以防所有观测结果都受到审查。在这种情况下，似然函数为，其形式与我们获得全部成功的二项式实验的似然函数的形式相同，即（另请参见关于的二项式估计的置信区间0或1）。在那种情况下，我们想要形式为的单侧置信区间。然后我们通过求解获得的间隔。$\lambda$$e^{-\lambda n T}$$p^n$$p$$[\underset{\bar{}}{p}, 1]$$\lambda$$\log p = -\lambda T$

我们通过求解 得到的置信区间， 这样。这最终给出了的置信区间： $p$

$$P(X=n) = p^n \ge 0.95 ~~~~\text{(say)}$$ $n\log p \ge \log 0.95$$\lambda$ $$\lambda \le \frac{-\log 0.95}{n T}.$$