如果X / Y与Z具有相同的分布，那么X与YZ具有相同的分布是否成立？

令X，Y和Z为三个独立的随机变量。如果X / Y与Z具有相同的分布，那么X与YZ具有相同的分布是否成立？

probability ratio

— 用户名
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不，考虑以下情况

X

$X$ 和

Y

$Y$ 是正常的标准

Z

$Z$ 标准柯西随机变量（根据问题的前提，三个变量都是独立的）。众所周知

X / Y

$X/Y$ 具有标准的柯西分布（与

Z

$Z$ ），但

Y Z

$YZ$ 没有标准正态分布（因为

E [Y Z]

$E[YZ]$ 不存在）。因此，您确实需要对

X, Y, Z

$X, Y, Z$ （请参阅Silverfish的答案），希望找到可能保留结果的示例。

— Dilip Sarwate 2015年

@Dilip我考虑将其用作反例，但回避了它，因为我想不出为什么的简短解释

E [Y Z]

$E[YZ]$ 不存在。如果您有一个简洁的论点，您应该将其发布为我认为的答案。（您可能会说，我在回答中完全避免了零和无穷大，所以我非常想避免甚至不是无限的东西！）

— Silverfish

@Dilip自

Z

$Z$ 是柯西，所以

E [Z]

$E[Z]$ 不存在，在我看来还没有满足附加条件，该声明没有说明

E [Y Z]

$E[YZ]$ 。为了比较：如果

Z

$Z$ 是柯西和

Y

$Y$ 简并分布

P (Y = 0) = 1

$P(Y=0)=1$ ，那么它将出现

E [Y Z]

$E[YZ]$ 即使存在（等于零）

E [Z]

$E[Z]$ 没有。

— 银鱼

最简单，也许也是最直观的反例之一就是

X = 1

$X=1$ 和

Y

$Y$ 有可能没有出现的任何分布

{- 1, 0, 1, \pm \infty}

$\{-1,0,1,\pm\infty\}$ （以来

\pm 1

$\pm 1$ 是...的固定点

y \to 1 / y

$y\to 1/y$ 和

0, \infty,

$0,\infty,$ 和

- \infty

$-\infty$ 在定义上有问题

X / Y

$X/Y$ 在任何情况下）。然后

Y Z

$YZ$ 显然不是恒定的

X

$X$ 是。

— whuber

@蠹虫

E [Y Z]

$E[YZ]$ 仅在以下情况下定义

E [| Y Z |]

$E[|YZ|]$ 是有限的。但，

E [| Y Z |] = E [| Y | \cdot | Z |] = E [| Y |] E [| Z |]

$E[|YZ|]=E[|Y|\cdot |Z|]=E[|Y|]E[|Z|]$ 以来

| Y |

$|Y|$ 和

| Z |

$|Z|$ 是独立的随机变量。但是由于

E [| Z |]

$E[|Z|]$ 不是有限的

E [| Y |] > 0

$E[|Y|]>0$ ，我们得出的结论是

E [| Y Z |]

$E[|YZ|]$ 不是无限的（关于...的价值没有问题

0 \times \infty

$0\times\infty$ ）。所以，

E [Y Z]

$E[YZ]$ 未定义（或不存在），而

E [X]

$E[X]$ 确实存在并且有价值

0

$0$ 。

— Dilip Sarwate

这有可能发生。例如，如果 $X$ ， $Y$ 和 $Z$ 是独立的Rademacher变量，即它们的概率为1或-1。在这种情况下 $X/Y$ 也是Rademacher，所以与 $Z$ ，而 $YZ$ 是Rademacher，因此与 $X$ 。

但这一般不会发生。只要存在手段，就具备必要（但不充分）的条件 $X/Y$ 具有与 $Z$ 和 $YZ$ 具有与 $X$ ，将会：

E (Z) = E (X Y^{- 1}) = E (X) E (Y^{- 1})

$\mathbb{E}(Z) = \mathbb{E}(XY^{-1}) = \mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y^{-1})$

E (X) = E (Y Z) = E (Y) E (Z)

$\mathbb{E}(X) = \mathbb{E}(YZ) = \mathbb{E}(Y)\mathbb{E}(Z)$

第二个平等是独立。替换为：

E (Z) = E (Y) E (Z) E (Y^{- 1})

$\mathbb{E}(Z) = \mathbb{E}(Y) \mathbb{E}(Z) \mathbb{E}(Y^{-1})$

如果 $\mathbb{E}(Z) \neq 0$ 然后 $1 = \mathbb{E}(Y) \mathbb{E}(Y^{-1})$ ，或等价的，只要 $\mathbb{E}(Y) \neq 0$ ，

E (Y^{- 1}) = \frac{1}{E (Y)}

$\mathbb{E}(Y^{-1}) = \frac{1}{\mathbb{E}(Y)}$

通常这是不正确的。例如，让 $Y$ 是一个转换后的Bernouilli变量，它接受值 $1$ 要么 $2$ 以相等的概率，所以 $\mathbb{E}(Y)=1.5$ 。然后 $Y^{-1}$ 取值 $1$ 要么 $0.5$ 以相等的概率，所以 $\mathbb{E}(Y^{-1})=0.75 \neq 1.5^{-1}$ 。（我将其留给读者的想象力，要是使用未翻译的 Bernouilli变量代替它，或者只翻译一个略微使它非常接近0的概率为一半，效果将是多么戏剧性。请注意，在Rademacher示例中有这里没有问题，因为所有三个期望都为零，请进一步注意，此条件还不够。）

我们可以探索一下 $Y$ 通过构造更明确的反例而失败。为了简单起见，假设 $X$ 是一个缩放的贝努利岛，具有价值 $0$ 要么 $2$ 的可能性相等。然后 $X/Y$ 或者是 $0/1$ ， $0/2$ ， $2/1$ 要么 $2/2$ 的可能性相等。很明显 $P(X/Y=0)=\frac{1}{2}$ ， $P(X/Y=1)=\frac{1}{4}$ 和 $P(X/Y=2)=\frac{1}{4}$ 。让 $Z$ 是来自相同分布的自变量。的分布是什么 $YZ$ ？它的分布是否相同 $X$ ？我们甚至不必算出全部概率分布就可以看出不可能。记住就足够了 $X$ 一会儿只能是零或二 $YZ$ 可以取任何一个乘以 $\{1,2\}$ 由以下之一 $\{0,1,2\}$ 。

如果您想为这个故事讲道德，请尝试使用缩放和转换后的Bernouilli变量（包括Rademacher变量）。它们可以是构造示例以及反示例的简单方法。它有助于减少支撑中的值，以便可以轻松地手动确定变量的各种功能的分布。

更极端的是，我们可以考虑退化变量仅在其支持下具有单个值。如果 $X$ 和 $Y$ 退化 $Y\neq 0$ ）然后 $Z=X/Y$ 也会如此，所以分布 $YZ$ 将匹配的值 $Z$ 。就像我的Rademacher示例一样，这种情况表明您的条件可以得到满足。相反，正如@whuber在评论中建议的那样，我们让 $X$ 与...堕落 $P(X=1)$ ，但允许 $Y$ 要进行变化，那么构造一个更简单的反例非常容易。如果 $Y$ 可以采用两个有限的非零值- $a$ 和 $b$ ，例如-以肯定的概率，那么 $X/Y$ ，因此 $Z$ ，可以取值 $a^{-1}$ 和 $b^{-1}$ 。现在 $YZ$ 因此有 $ab^{-1} \neq 1$ 在其支持下，因此不能遵循与 $X$ 。这类似于但比我的论点简单，该论点是我的原始反例中的支撑无法匹配。

— 蠹虫
source

$\newcommand\E{\mathbb{E}}$ 假设

Pr (Y > 0) = 1

$\Pr(Y > 0) = 1$ 。然后，由于

1 / x

$1/x$ 是一个凸函数

(0, \infty)

$(0, \infty)$ ，詹森的不等式告诉我们

E Y = E \frac{1}{Y}

$\E Y = \E \frac{1}{Y}$ 只有在

Y

$Y$ 退化。如果相同，也是如此

Pr (Y < 0) = 1

$\Pr(Y < 0) = 1$ ，在这种情况下，1 / x是凹形的。因此，如果

Y

$Y$ 具有固定符号但不退化，必要条件不能成立。

— Dougal 2015年

@Dougal感谢您提及这一点。在撰写本文时，我曾考虑过将其包括在内，但认为对标志等的讨论会破坏流程。我本来只是想说“看詹森的不平等”，然后添加一个Wikipedia或类似的链接，但是后来决定这不是一个好主意，因为我没有以我要避免的凸性条件为开头。取而代之的是，我看了一下是否有某个地方（可能是CV线程）在一般情况下讨论了RV的非线性函数的期望，这自然会使好奇的读者转向Jensen，但我没有发现任何东西我还喜欢

— 银鱼

@Dougal这是其中一次，精美的简单反例之间存在冲突-很容易计算，因此在误解下工作的人可以立即看到这是不可能的或不正确的-更彻底的常规处理实际上是有帮助的展示在什么条件下可能实际存在（但是对于某些读者而言，这可能太难了，因此难以令人信服）。房车开

{1, 2}

$\{1,2\}$ 甚至向初学者展示为什么

E (1 / Y)

$E(1/Y)$ 效果不如

E (a Y + b)

$E(aY+b)$ 但詹森（Jensen）说了更多有关原因的信息！

— 银鱼

是的，很好，尽管我对这种（看似自然的）关系何时能够成立的条件感到好奇，但似乎很有限。请注意，在上面的评论中，我误写了条件：它当然应该是

\frac{1}{\E Y} = \E \frac{1}{Y}

$\frac{1}{\E Y} = \E \frac{1}{Y}$ 。

— Dougal 2015年

@Dougal我认为除了退化的RV之外，这种关系并不像它们初次出现时那样“自然”。考虑

Z

$Z$ 具有与

X + Y

$X+Y$ 和

Y

$Y$ 具有与

Z - X

$Z-X$ ，并且这三个都是独立的...再次不适用。

— 银鱼