负二项式/泊松回归中的过度分散和分散不足

我在SAS中执行Poisson回归，发现Pearson卡方值除以自由度约为5，表明存在明显的过度分散。因此，我使用proc genmod拟合了负二项式模型，发现皮尔逊卡方值除以自由度是0.80。现在认为这是分散的吗？如果是这样，该如何处理呢？我已经阅读了很多有关过度分散的知识，并且相信我知道如何处理此问题，但是关于如何处理或确定是否存在分散不足的信息很少。有人可以协助吗？

谢谢。

对于平均值为的泊松分布，方差也为。在广义线性模型的框架内，这意味着 对于泊松模型，方差函数为 。由于许多不同的原因，该模型假设可能是错误的。例如，经常会遇到方差大于Poisson分布所指示的方差过大的计数数据。 $\mu$$\mu$

$$V(\mu) = \mu$$

在回归上下文中，与方差假设的偏差可以采取几种形式。最简单的一个是方差函数等于 其中是离散参数。这是准泊松模型。它将给出相同的拟合回归模型，但是使用估计的色散参数针对过高或过低的色散调整统计推断（和置信区间）。

$$V(\mu) = \psi \mu$$ $\psi > 0$$p$

方差函数的功能形式也可能是错误的。例如，它可能是二次多项式 。示例包括二项式，负二项式和伽玛模型。选择这些模型中的任何一个作为Poisson模型的替代品都会影响拟合的回归模型以及随后的统计推断。对于形状参数的负二项式分布，方差函数为 从中我们可以看到，如果我们将获得泊松分布的方差函数。

$$V(\mu) = a\mu^2 + b \mu + c,$$ $\lambda > 0$ $$V(\mu) = \mu\left( 1 + \frac{\mu}{\lambda}\right).$$ $\lambda \to \infty$

为了确定Poisson模型的方差函数是否适合该数据，我们可以按照OP的建议估计色散参数，并检查它是否约为1（也许使用形式检验）。这样的测试并未提出具体的选择，但是在准泊松模型中最清楚地理解了这一点。要测试方差函数的函数形式是否合适，我们可以针对负二项式模型（）构造泊松模型（）的似然比检验。请注意，在原假设下，它具有非标准分布。或者，我们通常可以使用基于AIC的方法来比较非嵌套模型。泊松模型中基于回归的过度分散测试$\lambda = \infty$$\lambda < \infty$ 探索了针对一般方差函数的一类测试。

但是，我建议首先研究残差图，例如Pearson或偏差残差（或其平方值）相对于拟合值的图。如果方差的函数形式不正确，您将在残差图中将其视为漏斗形状（或残差平方的趋势）。如果功能形式正确，即没有漏斗或趋势，则仍然可能存在过度分散或分散不足的情况，但这可以通过估计分散参数来解决。残差图的好处是，它比检验更清楚地表明方差函数出了什么问题（如果有的话）。

在OP的具体情况下，无法确定0.8是否表示从给定信息中分散不足。我建议不要着重于5和0.8的估计，首先建议研究Poisson模型和负二项式模型的方差函数的拟合。一旦确定了方差函数的最合适的函数形式，就可以在任一模型中包括一个弥散参数（如果需要），以针对任何其他过度弥散或欠弥散调整统计推断。不幸的是，如何在SAS中轻松地做到这一点并不是我可以帮助的。