如何定义一个分布，使它的绘制与另一个预先指定的分布的绘制相关？

如何定义随机变量的分布，以使来自的绘图与具有相关性，其中是来自具有累积分布函数的分布的单绘图？ $Y$ $Y$ $\rho$ $x_1$ $x_1$ $F_{X}(x)$

— 明锐Q
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以下Q密切相关且将引起关注：如何生成相关的随机数（给定均值和相关程度）以及生成与现有变量具有定义的相关性的随机变量。

— gung-恢复莫妮卡

您可以根据数据生成机制来定义它。例如，如果和 $X \sim F_{X}$

Y = ρ X + \sqrt{1 - ρ^{2}} Z

$Y = \rho X + \sqrt{1 - \rho^{2}} Z$

其中和独立于，然后， $Z \sim F_{X}$ $X$

c o v (X, Y) = c o v (X, ρ X) = ρ \cdot v a r (X)

${\rm cov}(X,Y) = {\rm cov}(X, \rho X) = \rho \cdot {\rm var}(X)$

另请注意，由于与具有相同的分布，因此。因此， ${\rm var}(Y) = {\rm var}(X)$ $Z$ $X$

c o r (X, Y) = \frac{c o v (X, Y)}{\sqrt{v a r (X)^{2}}} = ρ

${\rm cor}(X,Y) = \frac{ {\rm cov}(X,Y) }{ \sqrt{ {\rm var}(X)^{2} } } = \rho$

所以，如果你可以生成从数据，你可以生成一个变量，，具有特定的相关性与。但是请注意，在特殊情况下，当为正态分布（或其他加法分布）时，的边际分布将仅为这是由于这样的事实，正态分布的变量之和是正态的。这不是发行版的一般属性。在一般情况下，您将必须通过计算与对应的密度的（适当缩放）卷积来计算的分布 $F_{X}$ $Y$ $(\rho)$ $X$ $Y$ $F_{X}$ $F_{X}$ $Y$ 本身。 $F_{X}$

— 巨集
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+1非常好的答案。鸡蛋里挑骨头：在上线，你需要卷积缩放版本的

。

F_{X}

$F_X$

— ub

非常感谢Macro。只是为了澄清一些内容-您的意思是在最后一段中需要将rho * X与sqrt（1-rho ^ 2）* X卷积？（对不起，我无法获得任何格式，甚至HTML都无法在此特定注释中使用）

— OctaviaQ 2011年

卷积对应于的分布密度

与分布

ρ X

$\rho X$

。这是一般事实的结果，两个连续随机变量之和的密度是两个密度的卷积。

\sqrt{1 - ρ^{2}} X

$\sqrt{1 - \rho^{2}} X$

— 宏

时间长了，但是...如何做到这一点的想法，也强制Y的边际分布？

— 朱利安乌尔巴诺