如何重新排列2D数据以获得给定的相关性？

我有以下带有两个连续变量的简单数据集；即：

d = data.frame(x=runif(100,0,100),y = runif(100,0,100))
plot(d$x,d$y)
abline(lm(y~x,d), col="red")
cor(d$x,d$y) # = 0.2135273

我需要重新排列数据，以使变量之间的相关性达到〜0.6。我需要使两个变量的均值和其他描述性统计信息（sd，min，max等）保持恒定。

我知道可以与给定数据进行几乎任何关联，即：

d2 = with(d,data.frame(x=sort(x),y=sort(y)))
plot(d2$x,d2$y)
abline(lm(y~x,d2), col="red")
cor(d2$x,d2$y) # i.e. 0.9965585

如果我尝试将sample函数用于此任务：

cor.results = c()
for(i in 1:1000){
    set.seed(i)
    d3 = with(d,data.frame(x=sample(x),y=sample(y)))
    cor.results =  c(cor.results,cor(d3$x,d3$y))
}

我得到了很多相关性：

> summary(cor.results)
     Min.   1st Qu.    Median      Mean   3rd Qu.      Max. 
-0.281600 -0.038330 -0.002498 -0.001506  0.034380  0.288800

但是此范围取决于数据帧中的行数，并且随着大小的增加而减少。

> d = data.frame(x=runif(1000,0,100),y = runif(1000,0,100))
> cor.results = c()
> for(i in 1:1000){
+ set.seed(i)
+ d3 = with(d,data.frame(x=sample(x),y=sample(y)))
+ cor.results =  c(cor.results,cor(d3$x,d3$y))
+ }
> summary(cor.results)
      Min.    1st Qu.     Median       Mean    3rd Qu.       Max. 
-0.1030000 -0.0231300 -0.0005248 -0.0005547  0.0207000  0.1095000

我的问题是：

如何重新排列此类数据集以获得给定的相关性（即0.7）？（如果方法消除了对数据集大小的依赖，那也将是一件好事）

这是一种基于生成附加随机数来重新排列数据的方法。

我们从具有指定相关性的二元正态分布中抽取样本。接下来，我们计算获得的和值的等级。这些等级用于对原始值进行排序。对于这种方法，我们对原始和值都进行了顶级排序。$x$$y$$x$$y$

首先，我们创建实际的数据集（如您的示例中所示）。

set.seed(1)
d <- data.frame(x = runif(100, 0, 100), y = runif(100, 0, 100))

cor(d$x, d$y)
# [1] 0.01703215

现在，我们指定一个相关矩阵。

corr <- 0.7  # target correlation
corr_mat <- matrix(corr, ncol = 2, nrow = 2)
diag(corr_mat) <- 1
corr_mat
#      [,1] [,2]
# [1,]  1.0  0.7
# [2,]  0.7  1.0

我们根据二元正态分布生成随机数据 $\mu = 0$， $\sigma = 1$（对于两个变量）和指定的相关性。在R中，可以使用包中的mvrnorm函数来完成此操作MASS。我们empirical = TRUE用来表明相关性是经验相关性（不是总体相关性）。

library(MASS)
mvdat <- mvrnorm(n = nrow(d), mu = c(0, 0), Sigma = corr_mat, empirical = TRUE)

cor(mvdat)
#      [,1] [,2]
# [1,]  1.0  0.7
# [2,]  0.7  1.0

随机数据与指定的相关性完全匹配。

接下来，我们计算随机数据的秩。

rx <- rank(mvdat[ , 1], ties.method = "first")
ry <- rank(mvdat[ , 2], ties.method = "first")

要对中的原始数据使用排名d，我们必须对原始数据进行排序。

dx_sorted <- sort(d$x)
dy_sorted <- sort(d$y)

现在，我们可以使用等级来指定排序数据的顺序。

cor(dx_sorted[rx], dy_sorted[ry])
# [1] 0.6868986

所获得的相关性与指定的相关性不完全匹配，但是差异较小。

在dx_sorted[rx]和dy_sorted[ry]中，是中原始数据的重新采样版本d。

为了生成具有指定相关性的两个均匀分布，Ruscio＆Kaczetow（2008）算法将起作用。他们提供R代码。然后，您可以使用简单的线性函数进行变换，以获取目标的最小值，最大值，均值和SD。

Ruscio＆Kaczetow算法

我将总结双变量情况，但它也可以处理多变量问题。不相关的$X_o$ 和 $Y_o$以任何形状（例如，均匀）生成。然后，$X_1$ 和 $Y_1$ 被生成为具有中间相关性的双变量正态。 $X_1$ 和 $Y_1$ 被替换 $X_0$ 和 $Y_0$以保持等级的方式。根据r（$X_1,Y_1$）太低或太高。 $X_2$ 和 $Y_2$生成具有新的中间相关性的双变量正态。重复。

请注意，这与@Sven Hohenstein的解决方案非常相似，不同之处在于它是迭代的，因此中间相关性将越来越接近目标相关性，直到它们无法区分为止。另外，请注意，该算法可用于生成大量样本（例如N = 1百万），以从中提取较小的样本-如果您需要采样误差，这很有用。

对于相关文章：相关和非正态分布

保留描述性统计

不能保证算法会产生完全相同的描述。但是，由于均匀分布的均值和SD由其最小值和最大值确定，因此您只需调整最小值和最大值即可固定所有内容。

让 $X_g$ 和 $Y_g$ 是您在Ruscio＆Kaczetow算法的最后一次迭代中生成的变量， $X_f$ 和 $Y_f$ 是您希望拥有的最终变量（带有目标描述），并且 $X$ 和 $Y$ 是您数据集中的原始变量。

计算 $X_f=(X_g - min(X))*(max(X)-min(x))/(max(X_g)-min(X_g))$

为...做同样的事情 $Y_f$

参考：

Ruscio，J。和Kaczetow，W。（2008）。使用迭代算法模拟多元非正态数据。多元行为研究，43，355–381。doi：10.1080 / 00273170802285693

我猜想，当您说“重新采样”时，您的意思是“模拟”，这更为笼统。以下是我所知道的模拟具有指定相关性的正态，双变量数据的最简洁方法。用您自己想要的r和n值代替。

r = .6
n = 1000
x = rnorm(n) 
z = rnorm(n) 
y = (r/(1-r^2)^.5)*x + z

cor(x,y)
plot(x,y)
abline(lm(y~x), col="red")