如何有效地生成间隔中的排序均匀分布值？

假设我要从interval生成一组随机数(a, b)。生成的序列还应该具有对其进行排序的属性。我可以想到两种方法来实现这一目标。

让n是要生成的序列的长度。

第一种算法：

Let `offset = floor((b - a) / n)`
for i = 1 up to n:
   generate a random number r_i from (a, a+offset)
   a = a + offset
   add r_i to the sequence r

第二算法：

for i = 1 up to n:
    generate a random number s_i from (a, b)
    add s_i to the sequence s
sort(r)

我的问题是，算法1产生的序列是否与算法2产生的序列一样好？

random-generation

— 超约翰
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顺便说一句，在中生成排序后的随机数列表非常容易R。为了在均匀间隔

上生成

个

随机数的数组，以下代码起作用：。

k

$k$

n

$n$

[a, b]

$[a, b]$ rand_array <- replicate(k, sort(runif(n, a, b))

— 罗伯特·F

Answers:

第一种算法严重失败有两个原因：

取的底值可以大大减小它。的确，当，它将为零，为您提供了一个值都相同的集合！ $(a-b)/n$ $b-a \lt n$
当您不发言时，结果值分布得太均匀。 例如，在 iid均匀变量的任何简单随机样本中（例如和），存在机会最大将不在到的上限区间内。使用算法1，最大值有机会在该间隔内。在某些方面，这种超均匀性是好的，但是总的来说，这是一个可怕的错误，因为（a）许多统计信息将被破坏，但（b）很难确定原因。 $n$ $a=0$ $b=1$ $(1-1/n)^n\approx 1/e\approx 37\%$ $1-1/n$ $1$ $100\%$
如果要避免排序，请生成独立的指数分布变量。用它们的和除以将它们的累积和标准化为范围。删除最大值（始终为）。重新缩放到范围。 $n+1$ $(0,1)$ $1$ $(a,b)$

显示了所有三种算法的直方图。（每个图描绘了独立的集合的累积结果，每组值。）算法1的直方图中缺少任何可见的变化就表明存在该问题。其他两种算法的变化正是您所期望的-以及您需要从随机数生成器获得的变化。 $1000$ $n=100$

有关模拟独立均匀变量的更多（有趣的）方法，请参见使用正态分布的绘图来模拟均匀分布的绘图。

图：直方图

这是R产生图形的代码。

b <- 1
a <- 0
n <- 100
n.iter <- 1e3

offset <- (b-a)/n
as <- seq(a, by=offset, length.out=n)
sim.1 <- matrix(runif(n.iter*n, as, as+offset), nrow=n)
sim.2 <- apply(matrix(runif(n.iter*n, a, b), nrow=n), 2, sort)
sim.3 <- apply(matrix(rexp(n.iter*(n+1)), nrow=n+1), 2, function(x) {
  a + (b-a) * cumsum(x)[-(n+1)] / sum(x)
})

par(mfrow=c(1,3))
hist(sim.1, main="Algorithm 1")
hist(sim.2, main="Algorithm 2")
hist(sim.3, main="Exponential")

— ub
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您对我的答案中的算法（基于排名统计）有何看法？;-)

— 退出–Anony-Mousse 2015年

@Anony这是我的算法3的一个效率较低的版本。（您似乎涉及很多不必要的重新缩放。）您通过获取制服的对数来生成指数变量，这是标准的。

— ub

第一种算法产生间隔太均匀的数字

另请参见低差异系列。

$[0;1]$

（如指出的那样，这可能是理想的属性，例如用于分层。像Halton和Sobel 这样的低差异序列确实有其用例。）

适当但昂贵的方法（对于实际价值）

...将使用Beta分布的随机数。均匀分布的等级统计是beta分布。您可以使用它随机绘制最小的，然后第二个最小的，...重复。

$[0;1]$ $\text{Beta}[1,n]$ $n$ $1-X\sim \text{Beta}[n, 1]$ $-\ln (1-X)\sim \text{Exponential}[n]$ $\frac{-\ln(U[0;1])}{n}$

\begin{aligned} - \ln （ 1个 - X ） & = \frac{- \ln （ 1个 - ü ）}{ñ} \\ 1个 - X & = ü^{\frac{1个}{ñ}} \\ X & = 1个 - ü^{\frac{1个}{ñ}} \end{aligned}

$\begin{align*} -\ln (1-x) &= \frac{-\ln(1-u)}{n} \\ 1-x &= u^\frac{1}{n} \\ x &= 1 - u^\frac{1}{n} \end{align*}$

产生以下算法：

x = a
for i in range(n, 0, -1):
    x += (b-x) * (1 - pow(rand(), 1. / i))
    result.append(x)

可能涉及数值不稳定性，并且pow每个对象的计算和除法可能比排序慢。

对于整数值，您可能需要使用其他分布。

排序非常便宜，所以只需使用它

$O(n \log n)$

— 有QUIT--Anony-Mousse
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可能有避免排序的原因。一种是当您要生成大量随机变量时，以至于标准排序例程无法处理它们。

— whuber

我认为使用浮点数学求和的数值问题早已成为一个问题。（还有伪随机数中循环模式的问题！）将排序方法扩展到TB或分布式系统上的EB相当容易。

— 已退出-Anony-Mousse 2015年

10^{12}

$10^{12}$

好的，不必存储它们是一个参数。但是，那么您将需要我的方法，使用累计总和的变量3将不起作用。

— 已退出–Anony-Mousse 2015年

这是一个很好的观点。现在，我看到了额外计算的优点！（+1）

— 傻子

它还取决于您对随机数的处理方式。对于数值积分问题，一种方法（当通过除去下层运算符进行校正时）将产生优越的点集。您正在做的是分层抽样的一种形式，它的优点是可以避免结块。例如，不可能将所有值都设为0-（ba）/ n。也就是说，对于其他应用程序来说，这可能非常糟糕，这取决于您要如何处理。

— 用户名
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+1我认为这是对这个问题的有用贡献，尤其是通过分层来表征算法1时。

— ub