两个独立统一随机变量乘积的pdf

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让〜和〜与给定的分布两个独立随机变量。的分布是什么？ $X$ $U(0,2)$ $Y$ $U(-10,10)$ $V=XY$

我已经尝试过卷积，知道

H （ v ） = \int_{ÿ = - \infty}^{ÿ = + \infty} \frac{1个}{ÿ} F_{ÿ} （ ÿ ） F_{X} （ \frac{v}{ÿ} ） d ÿ

$h(v) = \int_{y=-\infty}^{y=+\infty}\frac{1}{y}f_Y(y) f_X\left (\frac{v}{y} \right ) dy$

我们还知道， $f_Y(y) = \frac{1}{20}$

H （ v ） = \frac{1个}{20} \int_{ÿ = - 10}^{ÿ = 10} \frac{1个}{ÿ} \cdot \frac{1个}{2} d ÿ

$h(v)= \frac{1}{20} \int_{y=-10}^{y=10} \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{2}dy$

H （ v ） = \frac{1个}{40} \int_{ÿ = - 10}^{ÿ = 10} \frac{1个}{ÿ} d ÿ

$h(v)=\frac{1}{40}\int_{y=-10}^{y=10} \frac{1}{y}dy$

告诉我，这里有些奇怪，因为它在0处是不连续的。请帮助。

distributions random-variable

— go
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如果这是一个家庭作业问题，您可以添加自学标签吗？谢谢！

— 安迪

这不是统一的RV吗？

— Yair Daon 2015年

它看起来不像制服。也许有日志？但是我不知道如何写出来，因为边界之间为零，并且该函数未定义为零。

— cgo 2015年

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一个好的，严格的，优雅的答案已经发布。这样做的目的是以某种方式得出相同的结果，可能会更多地揭示的基本结构。它显示了为什么概率密度函数（pdf）必须在处是奇数。 $XY$ $0$

通过关注组件分布的形式，可以完成很多工作：

是两次随机变量。是一个标准的，所有的均匀分布的“好”的形式特征。 $X$ $U(0,1)$ $U(0,1)$
是十次随机变量。 $|Y|$ $U(0,1)$
的符号遵循拉德马赫分布：它等于或，每个具有概率。 $Y$ $-1$ $1$ $1/2$

（最后一步将非负变量转换为围绕的对称分布，两个分布的尾部都看起来像原始分布。） $0$

因此（a）是对称的约和（b）其绝对值两个独立的次数的乘积的随机变量。 $XY$ $0$ $2\times 10=20$ $U(0,1)$

产品通常通过取对数来简化。 实际上，公知的是a的负对数的变量具有指数分布（因为这是关于最简单的方法来生成随机指数个变量），从那里的其中两个的乘积的负log具有两个指数之和的分布。指数是一个的分布。具有相同比例参数的Gamma分布很容易添加：只需添加其形状参数即可。甲加上一个 $U(0,1)$ $\Gamma(1,1)$ $\Gamma(1,1)$ 因此变量具有的分布。所以 $\Gamma(1,1)$ $\Gamma(2,1)$

随机变量是的对称版本 a的负的次数的指数的变量。 $XY$ $20$ $\Gamma(2,1)$

的PDF的结构从一个的分布从左至右所示，从均匀出发，于指数，到，其负的指数，同样是倍的东西，最后是对称形式。其PDF为是无限的，从而确认了该处的不连续性。 $XY$ $U(0,1)$ $\Gamma(2,1)$ $20$ $0$

我们可能会满足于此。 例如，此表征为我们提供了一种直接生成实现的方法，如以下表达式所示： $XY$ R

n <- 1; 20 * exp(-rgamma(n, 2, scale=1)) * ifelse(runif(n) < 1/2, -1, 1)

问题分析还揭示了为什么pdf会在爆炸。 $0$ 即奇异第一，当我们考虑的指数（负）一出现的分布，相应于一个相乘由另外一个变量。（比如说）内的值的出现在许多方面，包括（但不限于）当的因素（a）一种是小于或（b）双方的因素有小于 $\Gamma(2,1)$ $U(0,1)$ $\varepsilon$ $0$ $\varepsilon$ 。当接近时，该平方根比本身大得多。这会带来很大的概率，其值大于 $\sqrt{\varepsilon}$ $\varepsilon$ $\varepsilon$ $0$ ，要压缩成一个长度的间隔。为了使之成为可能，产品的密度必须任意增大为。随后的操作（将比例缩放并对称）显然不会消除这种奇异之处。 $\sqrt{\varepsilon}$ $\varepsilon$ $0$ $20$

答案的这种描述性特征也直接导致了公式化程度最低，显示了公式的完整性和严格性。 例如，为了获得的PDF ，具有的概率元素开始的分布， $XY$ $\Gamma(2,1)$

F （ Ť ） d Ť = Ť Ë^{- Ť} d Ť ， 0 < Ť < \infty 。

$f(t)dt = te^{-t}dt,\ 0 \lt t \lt \infty.$

设意味着且。这种变换也颠倒了顺序：值越大，值越小。因此，我们必须在替换后取反结果，得出 $t=-\log(z)$ $dt = -d(\log(z)) = -dz/z$ $0 \lt z \lt 1$ $t$ $z$

F （ Ť ） d Ť = - （ - 日志 （ ž ） Ë^{- （ - 日志 （ ž ） ）} （ - d ž / ž ） ） = - 日志 （ ž ） d ž ， 0 < ž < 1。

$f(t)dt = -\left(-\log(z) e^{-(-\log(z))} (-dz/z)\right) = -\log(z) dz,\ 0 \lt z \lt 1.$

比例因子将其转换为 $20$

- 日志 （ ž / 20 ） d （ ž / 20 ） = - \frac{1个}{20} 日志 （ ž / 20 ） d ž ， 0 < ž < 20

$-\log(z/20) d(z/20) = -\frac{1}{20}\log(z/20)dz,\ 0 \lt z \lt 20.$

最后，在对称取代通过，现在允许其值范围从至，并除以该PDF 跨越间隔相等地传播的总概率和： $z$ $|z|$ $-20$ $20$ $2$ $(-20,0)$ $(0,20)$

\begin{aligned} F_{X ÿ} （ ž ） d ž & = - \frac{1个}{2} \frac{1个}{20} 日志 （ | ž | / 20 ） ， - 20 < ž < 20; \\ F_{X ÿ} （ ž ） d ž & = 0 除此以外 。 \end{aligned}

$\eqalign{ f_{XY}(z)dz &= -\frac{1}{2}\frac{1}{20} \log(|z|/20),\ -20 \lt z\lt 20;\\ f_{XY}(z)dz &= 0\ \text{otherwise}. }$

— ub
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谢谢您尝试使其更“接近”。我仍然发现这有点反直观，因此我执行了此操作（类似于西安的“模拟”）：plot( density( outer(seq(-10,10,length=10),seq(0,2,length=10), "*") ) )将长度扩展到100可以避免某些密度的伪像。有界分布

— DWin 2015年

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在推导中，您不使用的密度。由于， $X$ $X\sim\mathcal{U}(0,2)$ ，以便在卷积式

F_{X} （ X ） = \frac{1个}{2} {一世}_{（ 0 ， 2 ）} （ X ）

$f_X(x) = \frac{1}{2}\mathbb{I}_{(0,2)}(x)$

（I也被修正雅可比通过将绝对值）。因此，

H （ v ） = \frac{1个}{20} \int_{- 10}^{10} \frac{1个}{| ÿ |} \cdot \frac{1个}{2} {一世}_{（ 0 ， 2 ）} （ v / ÿ ） d ÿ

$h(v)= \frac{1}{20} \int_{-10}^{10} \frac{1}{|y|}\cdot \frac{1}{2}\mathbb{I}_{(0,2)}(v/y)\text{d}y$

这是一封确认结果的仿真：

\begin{aligned} H （ v ） & = \frac{1个}{40} \int_{- 10}^{0} \frac{1个}{| ÿ |} {一世}_{0 \leq v / ÿ \leq 2} d ÿ + \frac{1个}{40} \int_{0}^{10} \frac{1个}{| ÿ |} {一世}_{0 \leq v / ÿ \leq 2} d ÿ \\ = \frac{1个}{40} \int_{- 10}^{0} \frac{1个}{| ÿ |} {一世}_{0 \geq v / 2 \geq ÿ \geq - 10} d ÿ + \frac{1个}{40} \int_{0}^{10} \frac{1个}{| ÿ |} {一世}_{0 \leq v / 2 \leq ÿ \leq 10} d ÿ \\ = \frac{1个}{40} {一世}_{- 20 \leq v \leq 0} \int_{- 10}^{v / 2} \frac{1个}{| ÿ |} d ÿ + \frac{1个}{40} {一世}_{20 \geq v \geq 0} \int_{v / 2}^{10} \frac{1个}{| ÿ |} d ÿ \\ = \frac{1个}{40} {一世}_{- 20 \leq v \leq 0} 日志 {20 / | v |} + \frac{1个}{40} {一世}_{0 \leq v \leq 20} 日志 {20 / | v |} \\ = \frac{日志 {20 / | v |}}{40} {一世}_{- 20 \leq v \leq 20} \end{aligned}

$\begin{align*} h(v) &= \frac{1}{40} \int_{-10}^{0} \frac{1}{|y|} \mathbb{I}_{0\le v/y\le 2}\text{d}y+\frac{1}{40} \int_{0}^{10} \frac{1}{|y|}\mathbb{I}_{0\le v/y\le 2}\text{d}y\\ &= \frac{1}{40} \int_{-10}^{0} \frac{1}{|y|} \mathbb{I}_{0\ge v/2\ge y\ge -10}\text{d}y+\frac{1}{40} \int_{0}^{10} \frac{1}{|y|}\mathbb{I}_{0\le v/2\le y\le 10}\text{d}y\\&= \frac{1}{40} \mathbb{I}_{-20\le v\le 0} \int_{-10}^{v/2} \frac{1}{|y|}\text{d}y+\frac{1}{40} \mathbb{I}_{20\ge v\ge 0} \int_{v/2}^{10} \frac{1}{|y|}\text{d}y\\ &= \frac{1}{40} \mathbb{I}_{-20\le v\le 0} \log\{20/|v|\}+\frac{1}{40} \mathbb{I}_{0\le v\le 20} \log\{20/|v|\}\\ &=\frac{\log\{20/|v|\}}{40}\mathbb{I}_{-20\le v\le 20} \end{align*}$ 在此处输入图片说明

获得为

   hist(runif(10^6,0,2)*runif(10^6,10,10),prob=TRUE,
   nclass=789,border=FALSE,col="wheat",xlab="",main="")
   curve(log(20/abs(x))/40,add=TRUE,col="sienna2",lwd=2,n=10^4)

— 西安
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你好谢谢。我想问为什么界限从-10变成10到-10变成v / 2？

— cgo 2015年

某个地方应该有否定的东西吗？谢谢

— cgo 2015年

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- 20 < v < 20

$-20\lt v \lt 20$

\log (20 / | v |)

$\log(20/|v|)$

20 / | v | > 1

$20/|v|\gt 1$

- \log (| v | / 20)

$-\log(|v|/20)$